Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
, onde a função
é
e o caminho
é a circunferência unitária, ou seja,
com
variando de
a
. O conteúdo que vamos usar aqui está na área de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para calcular integrais de funções complexas ao redor de singularidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de contorno. Em análise complexa, integrar uma função
ao longo de um caminho
significa somar todos os pequenos pedaços
ao longo desse caminho. No nosso caso, o caminho
descreve a circunferência unitária no plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui, temos uma divisão por
, o que significa que
tem singularidades quando
. Essas singularidades são chamadas de polos, e a ordem do polo é dada pelo expoente de
no denominador. No nosso caso, o polo em
é de ordem
.
Passo 4
Para calcular a integral, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado que envolve suas singularidades é igual a
vezes a soma dos resíduos dessas singularidades dentro do caminho. Como nosso caminho
é a circunferência unitária e a única singularidade de
dentro desse caminho é
, a integral será
vezes o resíduo de
em
.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo de
em
. O resíduo é o coeficiente de
na expansão em série de Laurent de
ao redor de
. Primeiro, expandimos
e
em séries de Taylor:
Subtraindo essas duas séries:
Agora, dividindo por
:
Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o termo onde a potência de
é
:
Portanto, apenas quando
for igual a 2, teremos um termo com
, e o resíduo será:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral será:
Esse resultado é válido especificamente para
. Para outros valores de
, a integral será zero porque não haverá termo com
na expansão de
.
Resposta
A integral
vale
quando
e é igual a zero para qualquer outro valor de
.