Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=e^z-e^-zz^n e gamma(t)=e^i t, 0 <= t <= 2 pi, n >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno integralgamma f(z) , dz, onde a função f(z) é e^z - e^-zz^n e o caminho gamma(t) é a circunferência unitária, ou seja, e^i t com t variando de 0 a 2pi. O conteúdo que vamos usar aqui está na área de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para calcular integrais de funções complexas ao redor de singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de contorno. Em análise complexa, integrar uma função f(z) ao longo de um caminho gamma significa somar todos os pequenos pedaços f(z) , dz ao longo desse caminho. No nosso caso, o caminho gamma(t) = e^i t descreve a circunferência unitária no plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função f(z) = e^z - e^-zz^n. Aqui, temos uma divisão por z^n, o que significa que f(z) tem singularidades quando z = 0. Essas singularidades são chamadas de polos, e a ordem do polo é dada pelo expoente de z no denominador. No nosso caso, o polo em z = 0 é de ordem n.

Passo 4

Para calcular a integral, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado que envolve suas singularidades é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dessas singularidades dentro do caminho. Como nosso caminho gamma é a circunferência unitária e a única singularidade de f(z) dentro desse caminho é z = 0, a integral será 2pi i vezes o resíduo de f(z) em z = 0.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo de f(z) em z = 0. O resíduo é o coeficiente de 1z na expansão em série de Laurent de f(z) ao redor de z = 0. Primeiro, expandimos e^z e e^-z em séries de Taylor:
e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + dots
e^-z = 1 - z + z^22! - z^33! + dots
Subtraindo essas duas séries:
e^z - e^-z = 2z + 2z^33! + 2z^55! + dots
Agora, dividindo por z^n:
f(z) = e^z - e^-zz^n = 2zz^n + 2z^33! z^n + 2z^55! z^n + dots = 2z^1 - n + 2z^3 - n3! + 2z^5 - n5! + dots
Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o termo onde a potência de z é -1:
1 - n = -1 Rightarrow n = 2
Portanto, apenas quando n for igual a 2, teremos um termo com z^-1, e o resíduo será:
Resz=0 f(z) = 2 cdot 1(2 - 1)! = 2

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral será:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i times Resz=0 f(z) = 2pi i times 2 = 4pi i
Esse resultado é válido especificamente para n = 2. Para outros valores de n, a integral será zero porque não haverá termo com z^-1 na expansão de f(z).

Resposta

A integral integralgamma e^z - e^-zz^n , dz vale 4pi i quando n = 2 e é igual a zero para qualquer outro valor de n >= 1.

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