Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função $ f(z) = z \overline{z} $ ao longo de uma curva $ \gamma(t) = e^{it} $ para $ t $ variando de $ 0 $ a $ 2\pi $. Isso faz parte do estudo de integrais de funções complexas no Cálculo Complexo. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar propriedades das funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a curva $ \gamma(t) = e^{it} $. Isso representa o círculo unitário no plano complexo, onde $ t $ é o parâmetro que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Em termos de coordenadas, $ e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) $.
Passo 3
Agora, precisamos expressar $ \overline{z} $ em termos de $ t $. Sabemos que se $ z = e^{it} $, então $ \overline{z} = e^{-it} $, porque o conjugado de $ e^{it} $ é $ e^{-it} $.
Passo 4
A função que vamos integrar é $ f(z) = z \overline{z} $. Substituindo $ z = e^{it} $ e $ \overline{z} = e^{-it} $, temos:
Portanto, $ f(z) = 1 $.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar $ dz $ em termos de $ t $. Sabemos que $ z = e^{it} $, então derivando em relação a $ t $:
Passo 6
Agora, queremos calcular a integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral $ \int_{0}^{2\pi} e^{it} dt $. Sabemos que:
Assim, avaliando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Resposta
Portanto, a integral $ \int_{\gamma} f(z) , dz $ é igual a $ 0 $.