Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=z barz e gamma(t)=e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função $ f(z) = z \overline{z} $ ao longo de uma curva $ \gamma(t) = e^{it} $ para $ t $ variando de $ 0 $ a $ 2\pi $. Isso faz parte do estudo de integrais de funções complexas no Cálculo Complexo. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar propriedades das funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a curva $ \gamma(t) = e^{it} $. Isso representa o círculo unitário no plano complexo, onde $ t $ é o parâmetro que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Em termos de coordenadas, $ e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) $.

Passo 3

Agora, precisamos expressar $ \overline{z} $ em termos de $ t $. Sabemos que se $ z = e^{it} $, então $ \overline{z} = e^{-it} $, porque o conjugado de $ e^{it} $ é $ e^{-it} $.

Passo 4

A função que vamos integrar é $ f(z) = z \overline{z} $. Substituindo $ z = e^{it} $ e $ \overline{z} = e^{-it} $, temos:
f(z) = z z
Portanto, $ f(z) = 1 $.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar $ dz $ em termos de $ t $. Sabemos que $ z = e^{it} $, então derivando em relação a $ t $:
dz

Passo 6

Agora, queremos calcular a integral:
integralgamma f(z) , dz = integral0^2pi 1 cdot i e^it dt = i integral0^2pi e^it dt

Passo 7

Vamos calcular a integral $ \int_{0}^{2\pi} e^{it} dt $. Sabemos que:
integral0^2pi e^it dt
Assim, avaliando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
integral e^it dt = e^iti + C

Resposta

Portanto, a integral $ \int_{\gamma} f(z) , dz $ é igual a $ 0 $.

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