Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=pi e^pi barz e gamma é o quadrado de vértices 0,1,1+i e i, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma função complexa $ f(z) = \pi e^{\pi \overline{z}} $ ao longo de um contorno $ \gamma $, que é um quadrado com vértices em $ 0 $, $ 1 $, $ 1+i $ e $ i $, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo complexo e integração de funções de variáveis complexas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ z $ é um número complexo, então podemos escrever $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ \overline{z} = x - iy $ é o conjugado de $ z $. Nossa função fica então:
z

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a integral de uma função complexa ao longo de um contorno $ \gamma $ pode ser decomposta em integrais sobre cada segmento que forma $ \gamma $. No nosso caso, o quadrado $ \gamma $ tem quatro lados:
  1. De $ 0 $ a $ 1 $
  2. De $ 1 $ a $ 1+i $
  3. De $ 1+i $ a $ i $
  4. De $ i $ a $ 0 $
Vamos calcular a integral em cada um desses lados e depois somar os resultados.

Passo 4

Vamos parametrizar cada segmento:
  1. Segmento de $ 0 $ a $ 1 $:
    • $ z(t) = t $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
    • $ dz = dt $
  2. Segmento de $ 1 $ a $ 1+i $:
    • $ z(t) = 1 + it $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
    • $ dz = i dt $
  3. Segmento de $ 1+i $ a $ i $:
    • $ z(t) = 1 - t + i $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
    • $ dz = -dt $
  4. Segmento de $ i $ a $ 0 $:
    • $ z(t) = i(1 - t) $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
    • $ dz = -i dt $

Passo 5

Vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. Integral no segmento de $ 0 $ a $ 1 $:
    0
  2. Integral no segmento de $ 1 $ a $ 1+i $:
    1
    integral0^1 pi e^pi t dt = pi [ e^pi tpi ]0^1 = e^pi - 1
    Sabendo que $ e^{-i\pi} = -1 $, temos:
    1
  3. Integral no segmento de $ 1+i $ a $ i $:
    1+i
    z(t) = 1 + it Rightarrow z = 1 - it
    integral0^1 pi e^pi (1 - it) cdot i dt = pi i e^pi integral0^1 e^-ipi t dt = pi i e^pi [ e^-ipi t-ipi ]0^1 = e^pi (e^-ipi - 1)
  4. Integral no segmento de $ i $ a $ 0 $:
    e^-ipi = -1
    e^pi (-1 - 1) = -2 e^pi
    Fazendo a substituição $ u = 1 - t $, $ du = -dt $:
    1+i
    Sabendo que $ e^{-i\pi} = -1 $:
    i

Passo 6

Agora, vamos somar todas as integrais dos quatro segmentos:
(e^pi - 1) + (-2 e^pi) + (-e^pi (1 - e^-pi)) + (-2) = e^pi - 1 - 2 e^pi - e^pi + e^pi e^-pi - 2
= (-2 e^pi + e^pi e^-pi) + (-1 - 2) = -2 e^pi + 1 + (-3) = -2 e^pi -2

Resposta

A integral integralgamma f(z) dz vale -2 e^pi - 2.

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