Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
é o quadrado de vértices
e
, percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma função complexa $ f(z) = \pi e^{\pi \overline{z}} $ ao longo de um contorno $ \gamma $, que é um quadrado com vértices em $ 0 $, $ 1 $, $ 1+i $ e $ i $, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo complexo e integração de funções de variáveis complexas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ z $ é um número complexo, então podemos escrever $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ \overline{z} = x - iy $ é o conjugado de $ z $. Nossa função fica então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a integral de uma função complexa ao longo de um contorno $ \gamma $ pode ser decomposta em integrais sobre cada segmento que forma $ \gamma $. No nosso caso, o quadrado $ \gamma $ tem quatro lados:
- De $ 0 $ a $ 1 $
- De $ 1 $ a $ 1+i $
- De $ 1+i $ a $ i $
- De $ i $ a $ 0 $
Vamos calcular a integral em cada um desses lados e depois somar os resultados.
Passo 4
Vamos parametrizar cada segmento:
-
Segmento de $ 0 $ a $ 1 $:
- $ z(t) = t $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
- $ dz = dt $
-
Segmento de $ 1 $ a $ 1+i $:
- $ z(t) = 1 + it $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
- $ dz = i dt $
-
Segmento de $ 1+i $ a $ i $:
- $ z(t) = 1 - t + i $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
- $ dz = -dt $
-
Segmento de $ i $ a $ 0 $:
- $ z(t) = i(1 - t) $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 1 $
- $ dz = -i dt $
Passo 5
Vamos calcular a integral em cada segmento:
-
Integral no segmento de $ 0 $ a $ 1 $:
-
Integral no segmento de $ 1 $ a $ 1+i $:Sabendo que $ e^{-i\pi} = -1 $, temos:
-
Integral no segmento de $ 1+i $ a $ i $:
-
Integral no segmento de $ i $ a $ 0 $:Fazendo a substituição $ u = 1 - t $, $ du = -dt $:Sabendo que $ e^{-i\pi} = -1 $:
Passo 6
Agora, vamos somar todas as integrais dos quatro segmentos:
Resposta
A integral
vale
.