Seja
uma função holomorfa, onde
é um domínio. Suponha que exista um ponto
tal que
para todo ponto
. Mostre que, ou bem
, ou bem
é uma função constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é mostrar que, se temos uma função
que é holomorfa (ou seja, bem comportada e diferenciável no sentido complexo) definida num domínio
, e existe um ponto
em
onde o valor de
é menor ou igual ao de todos os outros pontos em
, então ou
é zero, ou a função
é constante em todo o domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Princípio do Módulo Máximo e como ele se aplica a funções holomorfas.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que significa uma função ser holomorfa. Uma função
é holomorfa em um domínio
se ela é diferenciável em todos os pontos de
no sentido complexo. Isso implica que
é muito “suave” e bem comportada em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Princípio do Módulo Máximo. Este princípio diz que, se
é uma função holomorfa não constante num domínio
, então o módulo
não pode atingir seu valor máximo dentro de
. Ou seja, o máximo de
ocorre na borda de
.
Passo 4
Mas a nossa questão fala sobre um ponto
onde
é menor ou igual a todos os outros
em
. Isso se parece com o Princípio do Módulo Mínimo, que é um conceito relacionado. Segundo esse princípio, se
é holomorfa e não constante, então
não pode ter um mínimo local dentro de
, a menos que
seja constante.
Passo 5
Então, aplicando isso à nossa situação: se existe um ponto
em
onde
para todo
em
, e se
não é constante, então o Princípio do Módulo Mínimo nos diz que o único jeito disso acontecer é se
, ou seja,
.
Passo 6
Por outro lado, se
, então o Princípio do Módulo Mínimo nos força a concluir que
deve ser constante em todo o domínio
, já que não pode atingir um mínimo local a menos que não varie.
Resposta
Portanto, ou
, ou a função
é constante em todo o domínio
.