Seja f: U C uma função holomorfa, onde U é um domínio. Suponha que exista um ponto a in U tal que |f(a)| <=|f(z)| para todo ponto z in U. Mostre que, ou bem f(a)=0, ou bem f é uma função constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é mostrar que, se temos uma função f que é holomorfa (ou seja, bem comportada e diferenciável no sentido complexo) definida num domínio U, e existe um ponto a em U onde o valor de |f(a)| é menor ou igual ao de todos os outros pontos em U, então ou f(a) é zero, ou a função f é constante em todo o domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Princípio do Módulo Máximo e como ele se aplica a funções holomorfas.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que significa uma função ser holomorfa. Uma função f: U C é holomorfa em um domínio U se ela é diferenciável em todos os pontos de U no sentido complexo. Isso implica que f é muito “suave” e bem comportada em U.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Princípio do Módulo Máximo. Este princípio diz que, se f é uma função holomorfa não constante num domínio U, então o módulo |f(z)| não pode atingir seu valor máximo dentro de U. Ou seja, o máximo de |f(z)| ocorre na borda de U.

Passo 4

Mas a nossa questão fala sobre um ponto a onde |f(a)| é menor ou igual a todos os outros |f(z)| em U. Isso se parece com o Princípio do Módulo Mínimo, que é um conceito relacionado. Segundo esse princípio, se f é holomorfa e não constante, então |f(z)| não pode ter um mínimo local dentro de U, a menos que f seja constante.

Passo 5

Então, aplicando isso à nossa situação: se existe um ponto a em U onde |f(a)| <= |f(z)| para todo z em U, e se f não é constante, então o Princípio do Módulo Mínimo nos diz que o único jeito disso acontecer é se |f(a)| = 0, ou seja, f(a) = 0.

Passo 6

Por outro lado, se f(a) neq 0, então o Princípio do Módulo Mínimo nos força a concluir que f deve ser constante em todo o domínio U, já que não pode atingir um mínimo local a menos que não varie.

Resposta

Portanto, ou f(a) = 0, ou a função f é constante em todo o domínio U.

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