Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de contorno
, onde
e
para
. Estamos lidando com integrais de funções complexas ao longo de curvas no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é super útil para calcular esse tipo de integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva
. A expressão
descreve um círculo unitário no plano complexo, ou seja, um círculo com raio 1 centrado na origem. O parâmetro
varia de 0 a
, o que significa que percorremos todo o círculo uma vez.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os polos da função
. Polos são pontos onde a função se comporta de forma “infinita”. Olhando para
, vemos que o denominador
se anula quando
. Portanto,
é um polo da função. Além disso, como o
está elevado à quarta potência, temos um polo de ordem 4 em
.
Passo 4
Seguindo o Teorema dos Resíduos, para calcular a integral, precisamos encontrar o resíduo da função
no polo
. O resíduo é basicamente o coeficiente do termo
na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto.
Vamos expandir
em série de Taylor:
Dividindo isso por
, temos:
O termo que nos interessa para o resíduo é o coeficiente de
, que aqui é
.
Passo 5
Com o resíduo em mãos, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
Substituindo o resíduo que encontramos: