Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=sen zz^4 e gamma(t)=e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de contorno integralgamma f(z) , dz, onde f(z) = sin(z)z^4 e gamma(t) = e^it para 0 <= t <= 2pi. Estamos lidando com integrais de funções complexas ao longo de curvas no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é super útil para calcular esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva gamma. A expressão gamma(t) = e^it descreve um círculo unitário no plano complexo, ou seja, um círculo com raio 1 centrado na origem. O parâmetro t varia de 0 a 2pi, o que significa que percorremos todo o círculo uma vez.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os polos da função f(z). Polos são pontos onde a função se comporta de forma “infinita”. Olhando para f(z) = sin(z)z^4, vemos que o denominador z^4 se anula quando z = 0. Portanto, z = 0 é um polo da função. Além disso, como o z está elevado à quarta potência, temos um polo de ordem 4 em z = 0.

Passo 4

Seguindo o Teorema dos Resíduos, para calcular a integral, precisamos encontrar o resíduo da função f(z) no polo z = 0. O resíduo é basicamente o coeficiente do termo 1z na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto.
Vamos expandir sin(z) em série de Taylor:
sin(z) = z - z^36 + z^5120 - dots
Dividindo isso por z^4, temos:
sin(z)z^4 = zz^4 - z^36z^4 + z^5120z^4 - dots = z^-3 - 16z^-1 + z120 - dots
O termo que nos interessa para o resíduo é o coeficiente de z^-1, que aqui é -16.

Passo 5

Com o resíduo em mãos, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i times Res(f, z=0)
Substituindo o resíduo que encontramos:
integralgamma sin(z)z^4 , dz = 2pi i times (-16) = -pi i3

Resposta

integralgamma sin(z)z^4 , dz = -pi i3

Exercícios relacionados