Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função complexa $ f(z) = \frac{z + 1}{z} $ ao longo de um caminho $ \gamma $ definido por $ \gamma(t) = 5i + e^{it} $ onde $ t $ varia de 0 a $ 2\pi $. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de funções complexas, especialmente o Teorema de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho $ \gamma(t) = 5i + e^{it} $. Esse é um círculo no plano complexo com raio 1, centrado no ponto $ 5i $. Ou seja, ele está localizado 5 unidades acima do ponto 0 na direção imaginária.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(z) = \frac{z + 1}{z} $. Essa função tem uma singularidade, ou seja, um ponto onde ela não é definida, que ocorre quando o denominador é zero. Então, $ z = 0 $ é uma singularidade de $ f(z) $.
Passo 4
O próximo passo é verificar se essa singularidade $ z = 0 $ está dentro do caminho $ \gamma $. Como $ \gamma $ é um círculo com raio 1 centrado em $ 5i $, a distância do centro do círculo ao ponto 0 é 5 unidades. Como o raio é 1, o ponto 0 está fora desse círculo.
Passo 5
Como a função $ f(z) $ é analítica (ou seja, não tem singularidades) dentro e sobre o caminho $ \gamma $, podemos aplicar o Teorema de Cauchy. Esse teorema nos diz que a integral de uma função analítica ao longo de um caminho fechado é zero.
Resposta
Portanto, $ \int_{\gamma} f(z) , dz = 0 $.