Mostre que integralgamma e^k zz d z=2 pi i, onde k é uma constante real e gamma(t)=e^i t, 0 <= t <= 2 pi. Use esse resultado para mostrar que
integral0^pi e^k cos t cos (k sen t) d t=pi

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de e^k zz ao longo do caminho gamma(t) = e^it de t = 0 até t = 2pi é igual a 2pi i. Depois, usando esse resultado, vamos provar que integral0^pi e^k cos t cos(k sin t) dt = pi.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente a fórmula de Cauchy e a integração de contornos. A gente vai precisar entender como parametrizar a curva gamma(t) e aplicar a teoria dos resíduos para calcular a primeira integral. Depois, vamos relacionar essa integral complexa com a integral real que a gente quer provar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t). Sabemos que gamma(t) = e^it, onde t varia de 0 a 2pi. Isso significa que gamma(t) descreve o círculo unitário no plano complexo.
Vamos calcular dz:
dz = gamma'(t) dt = i e^it dt
Agora, substituímos gamma(t) e dz na integral:
integralgamma e^k zz dz = integral0^2pi e^k e^ite^it cdot i e^it dt = i integral0^2pi e^k e^it dt

Passo 3

A integral que ficou é i integral0^2pi e^k e^it dt. Porém, vamos usar a fórmula de Cauchy para facilitar. Sabemos que, para uma função f(z) analítica dentro e sobre uma curva fechada gamma, temos:
integralgamma f(z)z - z0 dz = 2pi i f(z0)
No nosso caso, f(z) = e^k z e z0 = 0. Aplicando a fórmula:
integralgamma e^k zz dz = 2pi i e^k cdot 0 = 2pi i
Então, mostramos que a integral complexa é igual a 2pi i.

Passo 4

Agora, vamos usar esse resultado para provar que integral0^pi e^k cos t cos(k sin t) dt = pi.
Primeiro, vamos expressar a integral complexa em termos de integrais reais. Sabemos que:
e^k e^it = e^k (cos t + i sin t) = e^k cos t cdot e^i k sin t = e^k cos t [ cos(k sin t) + i sin(k sin t) ]
Então, a integral complexa fica:
i integral0^2pi e^k e^it dt = i integral0^2pi e^k cos t [ cos(k sin t) + i sin(k sin t) ] dt
Separando as partes real e imaginária:
i integral0^2pi e^k cos t cos(k sin t) dt - integral0^2pi e^k cos t sin(k sin t) dt
Sabemos que a integral imaginária deve ser zero porque a função é simétrica em relação ao intervalo. Então, temos:
i integral0^2pi e^k cos t cos(k sin t) dt = 2pi i
Dividindo ambos os lados por i:
integral0^2pi e^k cos t cos(k sin t) dt = 2pi

Passo 5

Agora, percebemos que a função e^k cos t cos(k sin t) é par em relação a t = pi, ou seja, ela tem simetria em torno de pi. Portanto, podemos escrever:
integral0^2pi e^k cos t cos(k sin t) dt = 2 integral0^pi e^k cos t cos(k sin t) dt
Sabemos que essa integral é igual a 2pi, então:
2 integral0^pi e^k cos t cos(k sin t) dt = 2pi
Dividindo ambos os lados por 2:
integral0^pi e^k cos t cos(k sin t) dt = pi

Resposta

Portanto, mostramos que integral0^pi e^k cos t cos(k sin t) dt = pi.

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