Mostre que
, onde
é uma constante real e
,
. Use esse resultado para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de
ao longo do caminho
de
até
é igual a
. Depois, usando esse resultado, vamos provar que
.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente a fórmula de Cauchy e a integração de contornos. A gente vai precisar entender como parametrizar a curva
e aplicar a teoria dos resíduos para calcular a primeira integral. Depois, vamos relacionar essa integral complexa com a integral real que a gente quer provar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Sabemos que
, onde
varia de
a
. Isso significa que
descreve o círculo unitário no plano complexo.
Vamos calcular
:
Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 3
A integral que ficou é
. Porém, vamos usar a fórmula de Cauchy para facilitar. Sabemos que, para uma função
analítica dentro e sobre uma curva fechada
, temos:
No nosso caso,
e
. Aplicando a fórmula:
Então, mostramos que a integral complexa é igual a
.
Passo 4
Agora, vamos usar esse resultado para provar que
.
Primeiro, vamos expressar a integral complexa em termos de integrais reais. Sabemos que:
Então, a integral complexa fica:
Separando as partes real e imaginária:
Sabemos que a integral imaginária deve ser zero porque a função é simétrica em relação ao intervalo. Então, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, percebemos que a função
é par em relação a
, ou seja, ela tem simetria em torno de
. Portanto, podemos escrever:
Sabemos que essa integral é igual a
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que
.