Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Complexo, mais precisamente com integrais de contorno e o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender sobre caminhos de integração, singularidades das funções e como aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a função que vamos integrar:
Essa função tem uma singularidade em $ z = 0 $ devido ao denominador $ z^{2} $.
Passo 3
O caminho de integração é dado por:
Isso descreve um círculo unitário no plano complexo, centrado na origem.
Passo 4
Como a singularidade ($ z = 0 $) está dentro do caminho de integração, podemos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Esse teorema nos diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado que envolve singularidades é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dessas singularidades.
Passo 5
Vamos encontrar o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 0 $. Como a singularidade é de ordem 2 (porque temos $ z^{2} $ no denominador), usamos a fórmula do resíduo para polos de ordem $ n $:
Aqui, $ n = 2 $:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral fica:
Resposta
A integral $ \int_{\gamma} \frac{e^{i z}}{z^{2}} , dz $ é igual a $ -2\pi $.