Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=e^i zz^2 e gamma(t)=e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Complexo, mais precisamente com integrais de contorno e o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender sobre caminhos de integração, singularidades das funções e como aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função que vamos integrar:
f(z) = e^i zz^2
Essa função tem uma singularidade em $ z = 0 $ devido ao denominador $ z^{2} $.

Passo 3

O caminho de integração é dado por:
gamma(t) = e^i t, 0 <= t <= 2pi
Isso descreve um círculo unitário no plano complexo, centrado na origem.

Passo 4

Como a singularidade ($ z = 0 $) está dentro do caminho de integração, podemos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Esse teorema nos diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado que envolve singularidades é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dessas singularidades.

Passo 5

Vamos encontrar o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 0 $. Como a singularidade é de ordem 2 (porque temos $ z^{2} $ no denominador), usamos a fórmula do resíduo para polos de ordem $ n $:
f(z)
Aqui, $ n = 2 $:
z = 0

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral fica:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i cdot Res(f, 0) = 2pi i cdot i = 2pi i^2 = -2pi

Resposta

A integral $ \int_{\gamma} \frac{e^{i z}}{z^{2}} , dz $ é igual a $ -2\pi $.

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