Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico. A função dada é $ f(z) = \frac{1}{(z - z_0)^n} $ e o caminho $ \gamma(t) = z_0 + r e^{it} $ para $ 0 \leq t \leq 2\pi $, onde $ r > 0 $ e $ n \geq 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especialmente integrais de contorno e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho $ \gamma(t) $. Ele representa um círculo no plano complexo com centro em $ z_0 $ e raio $ r $. A parametrização $ \gamma(t) = z_0 + r e^{it} $ varia com $ t $ de 0 a $ 2\pi $, cobrindo todo o círculo uma vez.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ \gamma(t) $ em relação a $ t $ para encontrar $ dz $. Derivando, temos:
Então, $ dz = i r e^{it} dt $.
Passo 4
Substituindo $ z $ por $ \gamma(t) $ na função $ f(z) $, temos:
Passo 5
Agora, montamos a integral:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{2\pi} e^{i(1 - n)t} dt $. Sabemos que, para qualquer inteiro $ k \neq 0 $:
Só quando $ k = 0 $ a integral é $ 2\pi $. No nosso caso, $ k = 1 - n $. Como $ n \geq 2 $, $ 1 - n \neq 0 $, então:
Resposta
A integral
vale
.