Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=1(z-z0)^n e gamma(t)=z0+r e^i t, 0 <= t <= 2 pi, r>0, n >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico. A função dada é $ f(z) = \frac{1}{(z - z_0)^n} $ e o caminho $ \gamma(t) = z_0 + r e^{it} $ para $ 0 \leq t \leq 2\pi $, onde $ r > 0 $ e $ n \geq 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especialmente integrais de contorno e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho $ \gamma(t) $. Ele representa um círculo no plano complexo com centro em $ z_0 $ e raio $ r $. A parametrização $ \gamma(t) = z_0 + r e^{it} $ varia com $ t $ de 0 a $ 2\pi $, cobrindo todo o círculo uma vez.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ \gamma(t) $ em relação a $ t $ para encontrar $ dz $. Derivando, temos:
gamma(t)
Então, $ dz = i r e^{it} dt $.

Passo 4

Substituindo $ z $ por $ \gamma(t) $ na função $ f(z) $, temos:
z

Passo 5

Agora, montamos a integral:
integralgamma f(z) dz = integral0^2pi f(gamma(t)) cdot dgammadt dt = integral0^2pi ( 1r^n e^-int ) cdot ( i r e^it ) dt

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
1r^n cdot i r cdot e^-int cdot e^it = ir^n-1 e^i(1 - n)t
Então, a integral fica:
ir^n-1 integral0^2pi e^i(1 - n)t dt

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{2\pi} e^{i(1 - n)t} dt $. Sabemos que, para qualquer inteiro $ k \neq 0 $:
integral0^2pi e^i(1 - n)t dt
Só quando $ k = 0 $ a integral é $ 2\pi $. No nosso caso, $ k = 1 - n $. Como $ n \geq 2 $, $ 1 - n \neq 0 $, então:
k neq 0

Resposta

A integral integralgamma f(z) dz vale 0.

Exercícios relacionados