Sejam f uma função holomorfa num domínio U, que contém a região fechada e limitada determinada por uma curva de Jordan suave por partes gamma, e z um ponto interior a essa região. Se K é o máximo de |f| ao longo de gamma e de é a distância mínima de z a gamma, então
|f(z)| <= K(ell(gamma)2 pi de= 1
Use isso para deduzir outra demonstração do Princípio do Módulo Máximo, Corolário 2.11.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com funções holomorfas, que são funções complexas diferenciáveis em um determinado domínio. O enunciado nos dá uma função $ f $ que é holomorfa em um domínio $ U $ que inclui uma região fechada e limitada por uma curva de Jordan suave por partes $ \gamma $. Temos um ponto $ z $ dentro dessa região, e definimos $ K $ como o máximo de $ |f| $ ao longo de $ \gamma $. Também temos $ \delta $, que é a distância mínima de $ z $ a $ \gamma $. A desigualdade apresentada nos diz que $ |f(z)| $ é menor ou igual a $ K \left( \frac{\ell(\gamma)}{2\pi\delta} \right)^{1/n} $ para todo $ n \geq 1 $. Nosso objetivo é usar essa desigualdade para deduzir uma outra demonstração do Princípio do Módulo Máximo, especificamente o Corolário 2.11. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como funções holomorfas, curvas de Jordan, e o Princípio do Módulo Máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Princípio do Módulo Máximo. Esse princípio afirma que se uma função é holomorfa e não constante em um domínio, então o seu módulo alcança seu máximo apenas na fronteira desse domínio. Ou seja, se $ |f(z)| $ atinge seu máximo dentro do domínio, a função deve ser constante.
Agora, olhando para a desigualdade fornecida:
|f(z)|
Podemos analisar o que acontece quando $ n $ cresce. O termo $ \left(\frac{\ell(\gamma)}{2 \pi \delta}\right)^{1 / n} $ é a raiz $ n $-ésima de $ \frac{\ell(\gamma)}{2 \pi \delta} $. Sabemos que, para qualquer número positivo $ a $, $ \lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1 $. Portanto, à medida que $ n $ aumenta, o lado direito da desigualdade se aproxima de $ K $.
Ou seja, para $ n $ muito grande:
|f(z)| <= K(ell(gamma)2 pi de= 1
Isso quer dizer que o módulo de $ f(z) $ não pode exceder o máximo $ K $ determinado na fronteira $ \gamma $.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com o Princípio do Módulo Máximo. A desigualdade que obtivemos nos diz que, dentro do domínio, o módulo de $ f(z) $ é limitado pelo máximo encontrado na fronteira. Isso está exatamente alinhado com o que o Princípio do Módulo Máximo afirma: o máximo do módulo de uma função holomorfa ocorre na fronteira do domínio, a menos que a função seja constante.
Portanto, se $ |f(z)| $ alcança seu máximo interiormente (ou seja, dentro da região limitada por $ \gamma $), a única possibilidade, de acordo com nossa desigualdade, é que esse máximo seja igual a $ K $. Mas, o Princípio do Módulo Máximo nos diz que isso só é possível se $ f $ for constante em todo o domínio.

Resposta

Assim, utilizando a desigualdade fornecida, deduzimos que se uma função holomorfa atinge seu máximo módulo no interior da região, ela deve ser constante. Isso estabelece uma outra demonstração do Princípio do Módulo Máximo, Corolário 2.11.

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