Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=z+1z e gamma(t)=14 e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de contorno em números complexos! O problema pede para calcular a integral de integralgamma f(z) , dz, onde a função f(z) = z+1z e o caminho gamma é dado por gamma(t) = 14 e^i t para 0 <= t <= 2pi. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais em contornos no plano complexo e usar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho gamma. A função gamma(t) = 14 e^i t descreve um círculo no plano complexo com raio 14 e centro na origem (0,0). O parâmetro t varia de 0 a 2pi, ou seja, percorremos todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que estamos integrando: f(z) = z+1z. Essa função pode ser escrita como f(z) = 1 + 1z. Observamos que há uma singularidade (ponto onde a função não está definida) em z = 0 devido ao termo 1z.

Passo 4

O próximo passo é verificar se essa singularidade está dentro do caminho de integração gamma. Como gamma é um círculo com raio 14 e centro na origem, o ponto z = 0 está de fato dentro desse círculo.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de contorno envolvendo singularidades isoladas. Segundo o teorema, se f(z) tem uma singularidade isolada dentro de gamma, então:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i cdot Res(f, z0)
onde Res(f, z0) é o resíduo de f em z = z0.

Passo 6

Vamos calcular o resíduo de f(z) = 1 + 1z em z = 0. O resíduo é o coeficiente de 1z na expansão de Laurent de f(z) ao redor de z = 0. Aqui, já temos facilmente:
Res(f, 0) = 1

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i cdot 1 = 2pi i

Resposta

A integral é igual a 2 pi i.

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