Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de contorno em números complexos! O problema pede para calcular a integral de
, onde a função
e o caminho
é dado por
para
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais em contornos no plano complexo e usar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho
. A função
descreve um círculo no plano complexo com raio
e centro na origem (0,0). O parâmetro
varia de
a
, ou seja, percorremos todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa função pode ser escrita como
. Observamos que há uma singularidade (ponto onde a função não está definida) em
devido ao termo
.
Passo 4
O próximo passo é verificar se essa singularidade está dentro do caminho de integração
. Como
é um círculo com raio
e centro na origem, o ponto
está de fato dentro desse círculo.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de contorno envolvendo singularidades isoladas. Segundo o teorema, se
tem uma singularidade isolada dentro de
, então:
onde
é o resíduo de
em
.
Passo 6
Vamos calcular o resíduo de
em
. O resíduo é o coeficiente de
na expansão de Laurent de
ao redor de
. Aqui, já temos facilmente:
Passo 7
Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral é igual a
.