Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de contorno
, onde
e
para
. Aqui, estamos trabalhando com funções complexas e integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender os pólos da função
e verificar quais estão dentro do caminho
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos ou pólos de
, que são os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Então, temos dois pólos:
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a curva
, que é definida por
. Isso descreve um círculo com centro em
no eixo real e raio
. Para saber quais pólos estão dentro desse círculo, calculamos a distância de cada pólo ao centro da curva.
Passo 4
Calculando as distâncias:
- Para
:
- Para
:
Como o raio do círculo é
, só o pólo
está dentro da curva
.
Passo 5
Agora usamos o Teorema dos Resíduos, que diz que:
Precisamos, então, encontrar o resíduo de
em
.
Passo 6
Calculando o resíduo:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 7
Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale
.