Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=1z^2-2 e gamma(t)=2+e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de contorno integralgamma f(z) dz, onde f(z) = 1z^2-2 e gamma(t) = 2 + e^it para 0 <= t <= 2pi. Aqui, estamos trabalhando com funções complexas e integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender os pólos da função f(z) e verificar quais estão dentro do caminho gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos ou pólos de f(z), que são os valores de z que fazem o denominador ser zero:
z^2 - 2 = 0 implies z = pm raiz2
Então, temos dois pólos: z = raiz2 e z = -raiz2.

Passo 3

Agora, vamos analisar a curva gamma, que é definida por gamma(t) = 2 + e^it. Isso descreve um círculo com centro em 2 no eixo real e raio 1. Para saber quais pólos estão dentro desse círculo, calculamos a distância de cada pólo ao centro da curva.

Passo 4

Calculando as distâncias:
  • Para z = raiz2 approx 1.414:
| raiz2 - 2 | approx |1.414 - 2| = 0.586
  • Para z = -raiz2 approx -1.414:
| -raiz2 - 2 | approx |-1.414 - 2| = 3.414
Como o raio do círculo é 1, só o pólo z = raiz2 está dentro da curva gamma.

Passo 5

Agora usamos o Teorema dos Resíduos, que diz que:
integralgamma f(z) dz = 2pi i times Res(f, raiz2)
Precisamos, então, encontrar o resíduo de f(z) em z = raiz2.

Passo 6

Calculando o resíduo:
Res(f, raiz2) = limz to raiz2 (z - raiz2) f(z) = limz to raiz2 z - raiz2z^2 - 2
Simplificando o denominador:
z^2 - 2 = (z - raiz2)(z + raiz2)
Então:
Res(f, raiz2) = limz to raiz2 1z + raiz2 = 12raiz2

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
integralgamma f(z) dz = 2pi i times 12raiz2 = pi iraiz2

Resposta

A integral vale pi iraiz2.

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