Questão 9. Resolva as EDO y y^prime prime-(y^prime)^2=y^4 (Resp. 1C ln |raizy^2+C^2-Craizy^2+C^2+C|=x+D)

Passo 1

Temos a EDO
y,y'' - (y')^2 = y^4
que é de segunda ordem e não depende explicitamente de x. Vamos usar redução de ordem via substituição e separação de variáveis.

Passo 2

Definimos p(y)=dydx. Então
y'' = dpdx = dpdydydx = pdpdy

Passo 3

Substituindo na EDO original, fica
y,pdpdy - p^2 = y^4
Reorganizando, obtemos uma equação em variáveis separáveis:

Passo 4

pdpdy = p^2 + y^4y $$
\Longrightarrow \frac{p}{p^2 + y^4},dp = \frac{1}{y},dy.
$$

Passo 5

Integramos ambos os lados:
Lado esquerdo:
integral pp^2 + y^4,dp = 12lnl(p^2 + y^4r) + C1,
Lado direito:
integral 1y,dy = ln|y| + C2

Passo 6

Igualando as integrais e juntando constantes, temos
lnl(p^2 + y^4r) = 2ln|y| + C' Longrightarrow p^2 + y^4 = C,y^2,
onde definimos C=e^C'>0. Logo
dydx = p = pm yraizC - y^2

Passo 7

Separamos de novo as variáveis:
dyyraizC - y^2 = pm dx
e integramos, obtendo uma expressão logarítmica que, ao renomear e ajustar as constantes de integração, conduz à forma implícita da solução.

Resposta

1Clnl|raizy^2+C^2-Craizy^2+C^2+Cr| = x + D

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