Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de contorno
, onde
e
, com
.
O que precisamos saber:
- Integrais de contorno no plano complexo: Isso envolve calcular integrais ao longo de caminhos específicos no plano complexo.
- Singularidades e Resíduos: Precisamos identificar os pontos onde
não é analítica (chamados de singularidades) e calcular os resíduos nesses pontos. - Teorema dos Resíduos: Nos ajuda a calcular a integral de contorno usando os resíduos das singularidades dentro do caminho
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função
.
Para encontrar onde
não é analítica, resolvemos
.
Então, as singularidades são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do caminho
.
O caminho
descreve um círculo no plano complexo com raio 2 e centro na origem.
Vamos calcular a magnitude das singularidades:
Ambos os pontos estão dentro do círculo
.
Passo 4
Como ambas as singularidades estão dentro de
, vamos calcular os resíduos em cada uma delas.
Para uma função do tipo
, o resíduo em
é:
Aplicando isso:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que:
Substituindo os resíduos que calculamos:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a 0.