Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=1z^2-2 e gamma(t)=2 e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de contorno integralgamma f(z) , dz, onde f(z) = 1z^2 - 2 e gamma(t) = 2 e^i t, com 0 <= t <= 2pi.
O que precisamos saber:
  • Integrais de contorno no plano complexo: Isso envolve calcular integrais ao longo de caminhos específicos no plano complexo.
  • Singularidades e Resíduos: Precisamos identificar os pontos onde f(z) não é analítica (chamados de singularidades) e calcular os resíduos nesses pontos.
  • Teorema dos Resíduos: Nos ajuda a calcular a integral de contorno usando os resíduos das singularidades dentro do caminho gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função f(z) = 1z^2 - 2.
Para encontrar onde f(z) não é analítica, resolvemos z^2 - 2 = 0.
z^2 - 2 = 0 implies z = raiz2 ou z = -raiz2
Então, as singularidades são z = raiz2 e z = -raiz2.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do caminho gamma.
O caminho gamma(t) = 2 e^i t descreve um círculo no plano complexo com raio 2 e centro na origem.
Vamos calcular a magnitude das singularidades:
|raiz2| approx 1.414 < 2 |-raiz2| approx 1.414 < 2
Ambos os pontos estão dentro do círculo gamma.

Passo 4

Como ambas as singularidades estão dentro de gamma, vamos calcular os resíduos em cada uma delas.
Para uma função do tipo f(z) = 1(z - a)(z - b), o resíduo em z = a é:
Res(f, a) = 1a - b
Aplicando isso:
  • Para z = raiz2:
Res(f, raiz2) = 1raiz2 - (-raiz2) = 12raiz2 = raiz24
  • Para z = -raiz2:
Res(f, -raiz2) = 1-raiz2 - raiz2 = 1-2raiz2 = -raiz24

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i times ( Res(f, raiz2) + Res(f, -raiz2) )
Substituindo os resíduos que calculamos:
Res(f, raiz2) + Res(f, -raiz2) = raiz24 - raiz24 = 0

Resposta

Portanto, a integral integralgamma f(z) , dz é igual a 0.

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