Questão 13. Resolva os seguintes PVI x y^prime & =y+raizx^2+y^2 y(1) & =0 ( Resp. x^2=raizx^2+y^2+y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x,y'=y+raizx^2+y^2, y(1)=0,
que é um EDO de primeira ordem, classe homogênea. Vamos usar a substituição v=y/x para transformar em variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro escrevemos o DE na forma
y'=yx+raizx^2+y^2x
Isso mostra que a função do lado direito depende só de y/x, caracterizando uma equação homogênea.

Passo 3

Fazemos a troca de variável v=y/x. Então y=v x e
y'=v+x,v'
Substituindo no DE original:
v+xv'=v+raiz1+v^2
Cancelando v de ambos os lados fica
x,v'=raiz1+v^2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
dvraiz1+v^2=dxx
Integramos dos dois lados: à esquerda surge arcsinh(v), e à direita ln|x|+C. Logo
arcsinh(v)=ln|x|+C

Passo 5

Voltando à variável y, como v=y/x temos
arcsinhl(tfrac yxr)=ln|x|+C
Aplica-se a condição inicial y(1)=0, que dá v(1)=0, logo arcsinh(0)=0=\ln1+C implica C=0.

Passo 6

Reescrevendo sem a função inversa de seno hiperbólico: v=\sinh(\ln x). Como y=xv,
y=xsinh(ln x)=x^2-12
Verifica-se que isso é equivalente à forma implícita pedida: basta calcular raizx^2+y^2+y e obter x^2.

Resposta

x{2}=\sqrt{x{2}+y^{2}}+y

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