Questão 13. Resolva os seguintes PVI
Resp.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
que é um EDO de primeira ordem, classe homogênea. Vamos usar a substituição v=y/x para transformar em variáveis separáveis.
Passo 2
Primeiro escrevemos o DE na forma
Isso mostra que a função do lado direito depende só de y/x, caracterizando uma equação homogênea.
Passo 3
Fazemos a troca de variável v=y/x. Então y=v x e
Substituindo no DE original:
Cancelando v de ambos os lados fica
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Integramos dos dois lados: à esquerda surge arcsinh(v), e à direita ln|x|+C. Logo
Passo 5
Voltando à variável y, como v=y/x temos
Aplica-se a condição inicial y(1)=0, que dá v(1)=0, logo arcsinh(0)=0=\ln1+C implica C=0.
Passo 6
Reescrevendo sem a função inversa de seno hiperbólico: v=\sinh(\ln x). Como y=xv,
Verifica-se que isso é equivalente à forma implícita pedida: basta calcular
e obter
.
Resposta
x{2}=\sqrt{x{2}+y^{2}}+y