Sejam gamma(t)=r e^i t, 0 <= t <= pi e I(r)=integralgamma e^i zz d z. Calcule lim r infty I(r).

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! A gente tem uma função complexa definida por gamma(t) = r e^i t para 0 <= t <= pi. O que precisamos calcular é o limite, quando r tende ao infinito, da integral I(r) = integralgamma e^i zz dz.
Aqui, estamos trabalhando com integração no plano complexo, um tópico de Análise Complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva gamma e aplicar conceitos de integração de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t). Dada por gamma(t) = r e^i t, isso significa que estamos descrevendo um semi-círculo de raio r no plano complexo, indo de t = 0 a t = pi.
A derivada de gamma(t) em relação a t é:
gamma'(t) = ddt ( r e^i t ) = r i e^i t

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral I(r) em termos de t:
I(r) = integralgamma e^i zz dz = integral0^pi e^i gamma(t)gamma(t) gamma'(t) dt
Substituindo gamma(t) e gamma'(t):
I(r) = integral0^pi e^i r e^i tr e^i t cdot r i e^i t dt = i integral0^pi e^i r e^i t dt
Note que os termos r e^i t no numerador e denominador se cancelaram.

Passo 4

A expressão ficou mais simples:
I(r) = i integral0^pi e^i r e^i t dt
Vamos agora tentar avaliar o limite de I(r) quando r infty. Para isso, precisamos entender o comportamento de e^i r e^i t quando r cresce.

Passo 5

Observamos que e^i r e^i t = e^i r (cos t + i sin t) = e^- r sin t e^i r cos t.
Então, temos:
I(r) = i integral0^pi e^- r sin t e^i r cos t dt
Quando r infty, o termo e^- r sin t decai muito rapidamente, exceto quando sin t é pequeno, ou seja, perto de t = 0 e t = pi.

Passo 6

Vamos então focar nos pontos onde t está próximo de 0 e pi. Nesses pontos, podemos aproximar:
  • Para t perto de 0, sin t approx t e cos t approx 1.
  • Para t perto de pi, fazemos a substituição u = pi - t, então sin t approx u e cos t approx -1.
Vamos dividir a integral em duas partes próximas a 0 e pi:
I(r) approx i ( integral0^de
onde de é um pequeno número positivo.

Passo 7

Calculando cada parte:
integral0^de
Portanto,
I(r) approx i ( e^i rr + e^-i rr ) = i cdot e^i r + e^-i rr = i cdot 2 cos rr

Passo 8

Agora, avaliamos o limite quando r infty:
limr infty I(r) = limr infty i cdot 2 cos rr = limr infty 2 i cos rr
Como cos r oscila entre -1 e 1, e r tende ao infinito, o termo 2 i cos rr tende a zero.

Resposta

limr infty I(r) = 0

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