Sejam
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! A gente tem uma função complexa definida por
para
. O que precisamos calcular é o limite, quando
tende ao infinito, da integral
.
Aqui, estamos trabalhando com integração no plano complexo, um tópico de Análise Complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e aplicar conceitos de integração de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Dada por
, isso significa que estamos descrevendo um semi-círculo de raio
no plano complexo, indo de
a
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral
em termos de
:
Substituindo
e
:
Note que os termos
no numerador e denominador se cancelaram.
Passo 4
A expressão ficou mais simples:
Vamos agora tentar avaliar o limite de
quando
. Para isso, precisamos entender o comportamento de
quando
cresce.
Passo 5
Observamos que
.
Então, temos:
Quando
, o termo
decai muito rapidamente, exceto quando
é pequeno, ou seja, perto de
e
.
Passo 6
Vamos então focar nos pontos onde
está próximo de
e
. Nesses pontos, podemos aproximar:
- Para
perto de , e . - Para
perto de , fazemos a substituição , então e .
Vamos dividir a integral em duas partes próximas a
e
:
onde
é um pequeno número positivo.
Passo 7
Calculando cada parte:
Portanto,
Passo 8
Agora, avaliamos o limite quando
:
Como
oscila entre
e
, e
tende ao infinito, o termo
tende a zero.