Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 12 n

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+112n
é convergente ou divergente. Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Defina an = 12n. Observamos que:
  1. an>0 para todo n.
  2. A sequência an é decrescente, pois an+1 = 12(n+1) < 12n = an
  3. limntoinftyan = limntoinfty12n = 0
Pelo critério de Leibniz, como an é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada
sum(-1)^n+1an converge.

Passo 3

Analisemos a convergência absoluta. A série de termos absolutos é
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfrac12nr| = sumn=1^infty12n = tfrac12sumn=1^infty1n,
e sabemos que sumn=1^infty1n diverge (série harmônica). Logo, a série não converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto, ela apresenta convergência condicional.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+112n converge condicionalmente.

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