Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais aplicando uma substituição algébrica apropriada.
(y^2+y x) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(y^2+yxr),dx ;-; x^2,dy = 0
Esse tipo de equação é homogênea (os termos têm mesmo grau em x,y). Vamos usar a substituição algébrica típica para equações homogêneas:
y = z,x

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, isolamos dy/dx:
(y^2+yx),dx = x^2,dy Longrightarrow dydx = y^2+yxx^2 = l(yxr)^2 + yx

Passo 3

Definimos
z = yx,
de modo que y = zx.

Passo 4

Calculamos dy/dx em função de z:
dydx = ddx(z,x) = z + x,dzdx

Passo 5

Substituímos na expressão de dydx:
z + x,dzdx = z^2 + z Longrightarrow x,dzdx = z^2

Passo 6

Separamos variáveis e integramos:
dzz^2 = dxx Longrightarrow integral dzz^2 = integral dxx Longrightarrow -,1z = lnlvert xrvert + C

Passo 7

Isolamos z:
1z = -,lnlvert xrvert + C' Longrightarrow z = 1C' - lnlvert xrvert

Passo 8

Voltando a y via z = y/x:
yx = 1C' - lnlvert xrvert Longrightarrow xy = C' - lnlvert xrvert Longrightarrow xy + lnlvert xrvert = C'

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
xy + lnlvert xrvert = C,
onde C é constante arbitrária.

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