Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=2^+infty(-1)^n 1ln n

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=2^infty(-1)^n1ln n
e pergunta se ela é convergente ou divergente. O conteúdo necessário é o Critério de Leibniz para séries alternadas, que exige (i) os termos de módulo an=1ln n formarem uma sequência decrescente a partir de certo n e (ii) limntoinftyan=0.

Passo 2

Verificamos o limite dos termos de módulo. Como ln ntoinfty quando ntoinfty, temos
limntoinfty1ln n=0

Passo 3

Mostramos que an=1ln n é decrescente para n>=2. Defina
f(x)=1ln x, x>1
Então
f'(x)=-1x,(ln x)^2<0para x>1,
o que implica que an é decrescente para n>=2.

Passo 4

Como an>=0, an decrescente e lim an=0, pelo Critério de Leibniz a série alternada converge.

Passo 5

Para ver que não há convergência absoluta, note que sumn=2^infty1ln n diverge pelo Teste da Integral, já que
integral2^inftydxln x=infty
Logo, a convergência é condicional.

Resposta

A série sumn=2^infty(-1)^n1ln n é convergente (condicionalmente).

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