Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pergunta se ela é convergente ou divergente. O conteúdo necessário é o Critério de Leibniz para séries alternadas, que exige (i) os termos de módulo
formarem uma sequência decrescente a partir de certo
e (ii)
.
Passo 2
Verificamos o limite dos termos de módulo. Como
quando
, temos
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
. Defina
Então
o que implica que
é decrescente para
.
Passo 4
Como
,
decrescente e
, pelo Critério de Leibniz a série alternada converge.
Passo 5
Para ver que não há convergência absoluta, note que
diverge pelo Teste da Integral, já que
Logo, a convergência é condicional.
Resposta
A série
é convergente (condicionalmente).