Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y=1-ln (sen x), pi6 <= x <= pi4

Passo 1

Nesse exercício vamos encontrar o comprimento de arco da curva definida por y = 1 - ln(sen x) no intervalo x ∈ [π/6, π/4]. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de funções em coordenadas cartesianas e vamos precisar da fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx
e da derivada de y.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y em relação a x. Como y = 1 - ln(sen x), temos
y'(x) = -1sin xcdotddx(sin x) = -cos xsin x = -cot x

Passo 3

Substituindo y’(x) na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L = integralpi/6^pi/4 raiz1 + ( -cot x )^2,dx = integralpi/6^pi/4 raiz1 + cot^2 x,dx
Como sabemos que 1 + \cot^2 x = \csc^2 x, isso simplifica para
L = integralpi/6^pi/4 csc x,dx

Passo 4

Agora usamos a integral de csc x. A primitiva é
integral csc x,dx = lnl|tan(tfracx2)r| + C
Logo, no nosso caso,
L = l[lnl|tan(tfracx2)r|r]pi/6^pi/4

Passo 5

Avaliando nos limites, temos
L = lnl(tan(tfracpi8)r) - lnl(tan(tfracpi12)r) = ln!l(tan(tfracpi8)tan(tfracpi12)r)
Usando os valores tan(tfracpi8) = raiz2 - 1 e tan(tfracpi12) = 2 - raiz3, obtemos
L = lnl((raiz2 - 1)(2 + raiz3)r)

Resposta

lnl((raiz2 - 1)(2 + raiz3)r)

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