Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
Passo 1
Nesse exercício vamos encontrar o comprimento de arco da curva definida por y = 1 - ln(sen x) no intervalo x ∈ [π/6, π/4]. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de funções em coordenadas cartesianas e vamos precisar da fórmula
e da derivada de y.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de y em relação a x. Como y = 1 - ln(sen x), temos
Passo 3
Substituindo y’(x) na fórmula de comprimento de arco, obtemos
Como sabemos que 1 + \cot^2 x = \csc^2 x, isso simplifica para
Passo 4
Agora usamos a integral de csc x. A primitiva é
Logo, no nosso caso,
L = l[lnl|tan(tfracx2)r|r]pi/6^pi/4
Passo 5
Avaliando nos limites, temos
L = lnl(tan(tfracpi8)r) - lnl(tan(tfracpi12)r) = ln!l(tan(tfracpi8)tan(tfracpi12)r)
Usando os valores tan(tfracpi8) = raiz2 - 1 e tan(tfracpi12) = 2 - raiz3, obtemos