Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=8 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' + 3y' + 2y = 8x
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver essa EDO, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + 3y' + 2y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt, onde r é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
y' = re^rt y'' = r^2 e^rt
Então, a equação fica:
r^2 e^rt + 3r e^rt + 2 e^rt = 0
Podemos fatorar e^rt (que nunca é zero):
e^rt (r^2 + 3r + 2) = 0
Portanto, temos a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0
Isso pode ser fatorado como:
(r + 1)(r + 2) = 0
Então, as raízes são:
r = -1 e r = -2

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
y'' + 3y' + 2y = 8x
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos assumir que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
yp = Ax + B
Onde A e B são constantes a serem determinados.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp:
yp' = A yp'' = 0
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea:
0 + 3A + 2(Ax + B) = 8x
Simplificando:
3A + 2Ax + 2B = 8x

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com x:
2A = 8 Rightarrow A = 4
Para os termos constantes:
3A + 2B = 0 3(4) + 2B = 0 12 + 2B = 0 2B = -12 B = -6

Passo 9

Com A = 4 e B = -6, a solução particular é:
yp = 4x - 6

Passo 10

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^-x + C2 e^-2x + 4x - 6

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + 4x - 6
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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