Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver essa EDO, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então, a equação fica:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Portanto, temos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Isso pode ser fatorado como:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos assumir que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação não homogênea:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 9
Com
e
, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.