Nos Exercícios 27-34, use o teste do n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo.
\sum_{n-1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste do n-ésimo termo para divergência na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+3}.
Lembrando que esse teste diz: se
\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0,
então a série diverge; mas se
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+3} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\tfrac{3}{n}} =0.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
o teste do n-ésimo termo não nos permite concluir se a série converge ou diverge.

Resposta

O teste do n-ésimo termo é inconclusivo.

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