Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão de dois inteiros.
1, \overline{414}=1,414414414 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número 1,\overline{414}=1,414414414\ldots como razão de dois inteiros. O conteúdo envolvido é a conversão de decimal periódico em fração, que se baseia em multiplicar o número por uma potência de 10 igual ao comprimento do período e subtrair a forma não deslocada.

Passo 2

Seja
x = 1,414414414\ldots
Como o período “414” tem comprimento 3, multiplicamos ambos os lados por 10^3=1000:
1000x = 1414,414414414\ldots

Passo 3

Agora subtraímos a expressão original de 1000x para eliminar a parte periódica:
1000x - x = 1414,414414414\ldots - 1,414414414\ldots
Isso resulta em
999x = 1413.

Passo 4

Isolando x, obtemos
x = \frac{1413}{999}.

Passo 5

Basta então simplificar a fração. Como 1413 e 999 são divisíveis por 3, dividimos numerador e denominador por 3:
\frac{1413}{999} = \frac{471}{333}.
Novamente dividindo por 3:
\frac{471}{333} = \frac{157}{111}.

Resposta

\displaystyle \frac{157}{111}

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