Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão de dois inteiros. 1, \overline{414}=1,414414414 \ldots
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número 1,\overline{414}=1,414414414\ldots como razão de dois inteiros. O conteúdo envolvido é a conversão de decimal periódico em fração, que se baseia em multiplicar o número por uma potência de 10 igual ao comprimento do período e subtrair a forma não deslocada.
Passo 2
Seja
x = 1,414414414\ldots
Como o período “414” tem comprimento 3, multiplicamos ambos os lados por 10^3=1000:
1000x = 1414,414414414\ldots
Passo 3
Agora subtraímos a expressão original de 1000x para eliminar a parte periódica:
1000x - x = 1414,414414414\ldots - 1,414414414\ldots
Isso resulta em
999x = 1413.
Passo 4
Isolando x, obtemos
x = \frac{1413}{999}.
Passo 5
Basta então simplificar a fração. Como 1413 e 999 são divisíveis por 3, dividimos numerador e denominador por 3: