Verifique o Teorema de Green (mostrando que a integral de linha fornece o mesmo valor que a integral dupla) para o campo vetorial
agindo sobre o círculo unitário
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar o Teorema de Green para o campo vetorial
agindo sobre o círculo unitário
orientado no sentido anti-horário. Basicamente, queremos mostrar que a integral de linha ao redor do círculo é igual à integral dupla sobre a área do círculo, usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, calcular ambas as integrais e comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Vamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o círculo unitário.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. No círculo unitário,
,
, e
. A região
corresponde a
e
.
Substituindo na integral dupla:
Simplificando:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Agora, substituindo de volta:
Calculando as integrais:
Portanto, a integral dupla é
.
Passo 5
Agora vamos calcular a integral de linha ao redor do círculo
. A parametrização do círculo unitário orientado anti-horariamente é:
As derivadas são:
A integral de linha é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira integral é zero por simetria, já que
é uma função ímpar em relação a
. A segunda integral:
Resposta
Assim, tanto a integral dupla quanto a integral de linha resultaram em
. Portanto, verificamos que o Teorema de Green se mantém válido para o campo vetorial dado sobre o círculo unitário orientado no sentido anti-horário.