Verifique o Teorema de Green (mostrando que a integral de linha fornece o mesmo valor que a integral dupla) para o campo vetorial C agindo sobre o círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar o Teorema de Green para o campo vetorial F(x, y) = (x y^2, x) agindo sobre o círculo unitário C orientado no sentido anti-horário. Basicamente, queremos mostrar que a integral de linha ao redor do círculo é igual à integral dupla sobre a área do círculo, usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, calcular ambas as integrais e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D limitada por C. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, P = x y^2 e Q = x. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y:
partial Qpartial x = partialpartial x (x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y (x y^2) = 2 x y
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - 2 x y ) dx , dy
Vamos calcular essa integral dupla sobre a região D, que é o círculo unitário.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. No círculo unitário, x = r cos theta, y = r sin theta, e dx , dy = r , dr , dtheta. A região D corresponde a r in [0,1] e theta in [0, 2pi].
Substituindo na integral dupla:
integral duplaD (1 - 2 x y) dx , dy = integral0^2pi integral0^1 (1 - 2 (r cos theta)(r sin theta)) r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^1 (r - 2 r^3 cos theta sin theta) dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em relação a r:
integral0^1 r , dr = [r^22]0^1 = 12
integral0^1 2 r^3 cos theta sin theta , dr = 2 cos theta sin theta [r^44]0^1 = 12 cos theta sin theta
Agora, substituindo de volta:
integral0^2pi (12 - 12 cos theta sin theta) dtheta = 12 integral0^2pi dtheta - 12 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta
Calculando as integrais:
12 integral0^2pi dtheta = 12 cdot 2pi = pi
12 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 14 integral0^2pi sin 2theta , dtheta = 0
Portanto, a integral dupla é pi.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral de linha ao redor do círculo C. A parametrização do círculo unitário orientado anti-horariamente é:
x = cos theta, y = sin theta, theta in [0, 2pi]
As derivadas são:
dx = -sin theta , dtheta, dy = cos theta , dtheta
A integral de linha é:
ointC P , dx + Q , dy = integral0^2pi ( P dxdtheta + Q dydtheta ) dtheta
Substituindo P = x y^2 e Q = x:
integral0^2pi ( (cos theta cdot sin^2 theta)(- sin theta) + cos theta cdot cos theta ) dtheta
Simplificando:
integral0^2pi ( -cos theta sin^3 theta + cos^2 theta ) dtheta
Vamos dividir a integral em duas partes:
- integral0^2pi cos theta sin^3 theta , dtheta + integral0^2pi cos^2 theta , dtheta
A primeira integral é zero por simetria, já que cos theta sin^3 theta é uma função ímpar em relação a pi. A segunda integral:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi

Resposta

Assim, tanto a integral dupla quanto a integral de linha resultaram em pi. Portanto, verificamos que o Teorema de Green se mantém válido para o campo vetorial dado sobre o círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

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