Nos exercícios de 15 a 20 , construa intervalos de confiança de 95 \% e 99 \% para a proporção populacional " p " usando as estatísticas de amostras indicadas. Qual é o maior intervalo? Se for conveniente, use ferramentas de tecnologia para construir o intervalo.
Use as estatísticas no Exercício 7.
Passo 1
O enunciado pede que, para os exercícios 15 a 20, sejam construídos intervalos de confiança de 95\% e de 99\% para a proporção populacional p, usando as estatísticas de amostras indicadas no Exercício 7. As perguntas que preciso responder são:
Construir o intervalo de confiança de 95\% para p para cada exercício (15–20).
Construir o intervalo de confiança de 99\% para p para cada exercício (15–20).
Dizer qual é o maior intervalo (entre 95% e 99%) para cada caso.
Informações relevantes que o enunciado deu (o que realmente importa para construir os intervalos):
É necessário ter, para cada caso, o tamanho da amostra n e o número de sucessos x (ou, equivalentemente, a proporção amostral \hat p = x/n). Esses dados deveriam estar nas estatísticas do Exercício 7.
Observação importante: os valores numéricos de n e x (ou \hat p) não foram fornecidos aqui. Sem esses números não é possível calcular os intervalos numéricos pedidos.
Passo 2
O que é um intervalo de confiança para proporção e por que ele tem a forma que tem (explicação didática).
A proporção amostral \hat p é a estimativa pontual de p. Se na amostra há x sucessos em n observações, então \hat p = \dfrac{x}{n}.
Pelo Teorema Central do Limite (aplicado à proporção), quando n é razoavelmente grande e \hat p não está muito perto de 0 ou 1, a distribuição de \hat p é aproximadamente normal com média p e desvio padrão \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}. Substituindo p por \hat p obtemos a estimativa do erro padrão (standard error):
Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha tem a forma
\hat p \pm z_{\alpha/2}\cdot\text{SE}(\hat p),
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2. Em palavras: pegamos a estimativa \hat p e adicionamos/subtraímos uma margem de erro que é o produto do quantil crítico pelo erro padrão.
Passo 3
Valores críticos z para os níveis pedidos (explicando o que significam).
Para nível de confiança 95\%, tem-se \alpha=0,05 e z_{0,025} tal que \Pr(|Z|>z_{0,025})=0,05. O valor padrão é
z_{0,975}=1,96.
Para nível de confiança 99\%, tem-se \alpha=0,01 e o valor crítico é
z_{0,995}\approx 2,576.
Explicação curta: quanto maior o nível de confiança, maior o z_{\alpha/2}, logo maior a margem de erro.
Passo 4
Fórmulas finais dos intervalos (mostrando cada termo e o que significa).
Intervalo de 95\%:
\text{IC}_{95\%}=\hat p \pm 1,96\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Aqui \hat p é a proporção amostral, n é o tamanho da amostra. A expressão dentro da raiz é a variância estimada de \hat p, e 1,96 é o quantil da normal padrão correspondente a 95\% de confiança.
Intervalo de 99\%:
\text{IC}_{99\%}=\hat p \pm 2,576\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Mesmo significado, só que com constante crítica maior.
Passo 5
Como calcular passo a passo na prova (receita prática, sem calculadora sofisticada).
Obtenha x (número de sucessos) e n (tamanho da amostra) — esses vêm do Exercício 7.
Calcule \hat p = \dfrac{x}{n}. Sempre escreva isso em forma de fração e depois, se quiser, transforme em decimal.
Calcule \hat p(1-\hat p).
Divida por n: \dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}.
Tire a raiz quadrada para obter \text{SE}(\hat p).
Multiplique \text{SE}(\hat p) por 1,96 para o IC de 95\% e por 2,576 para o IC de 99\%.
Some e subtraia esse produto de \hat p para obter os limites inferior e superior.
Se necessário, garanta que os limites fiquem entre 0 e 1 (proporções não podem ultrapassar esses valores).
Dica de verificação rápida: para amostras grandes, a largura aproximada do IC é mais fácil de comparar e estimar.
Passo 6
Expressão da largura (para comparar rapidamente qual intervalo é maior) e conclusão teórica sobre qual é o maior intervalo.
Como z_{0,995}>z_{0,975} (ou seja, 2,576>1,96), para o mesmo \hat p e n a largura do IC de 99\% é sempre maior que a largura do IC de 95\%. Portanto, o intervalo de 99\% é o maior.
Passo 7
Condições de validade da aproximação normal (quando isso falha e alternativas).
A aproximação normal é aceitável quando n\hat p\ge 5 e n(1-\hat p)\ge 5 (ou outros autores usam 10 como critério). Se esses produtos forem pequenos, a fórmula clássica pode dar resultados ruins (por exemplo limites fora de [0,1] ou assimetria grande).
Alternativas quando a aproximação falha:
Intervalo de Wilson (melhor comportamento em amostras pequenas).
Intervalo exato de Clopper–Pearson (baseado na distribuição binomial).
Em provas, se não for mencionado nada diferente, normalmente usa-se a fórmula normal apresentada; se os produtos acima são pequenos, vale comentar isso e usar Wilson ou exato se for pedido.
Passo 8
Exemplo simbólico e numérico genérico (mostrando como ficará o cálculo se tivesse os dados).
Suponha genericamente que o Exercício 7 deu n e x. Então \hat p=\dfrac{x}{n}. Os intervalos ficam:
Se, por exemplo (apenas ilustrativo), n=100 e x=40 então \hat p=0,40. Calcula-se \text{SE}=\sqrt{\dfrac{0,4\cdot 0,6}{100}}=\sqrt{0,0024}=0,049 (aprox). Assim
Isto mostra concretamente que o IC de 99\% é mais largo. (Este exemplo usa números inventados só para ilustrar o cálculo — não são os dados do seu Exercício 7.)
Passo 9
Resumo prático final e o que falta para entregar os intervalos pedidos.
Para calcular os intervalos numéricos para os exercícios 15 a 20 preciso dos valores n e x (ou de \hat p e n) que o Exercício 7 fornece. Sem esses números não há como apresentar os intervalos numéricos finais.
Em todo caso, para qualquer um dos exercícios a forma de cálculo é exatamente a mostrada nos passos anteriores. E, independentemente dos dados, o intervalo de 99\% será sempre o maior (mais largo) do que o de 95\% quando comparados para a mesma amostra.
Resposta
Não é possível calcular numericamente os intervalos porque faltam as estatísticas do Exercício 7 (o tamanho da amostra n e o número de sucessos x ou a proporção amostral \hat p para cada exercício 15–20).
O maior intervalo é o de 99\%.