Nos exercícios de 15 a 20 , construa intervalos de confiança de
e
para a proporção populacional "
" usando as estatísticas de amostras indicadas. Qual é o maior intervalo? Se for conveniente, use ferramentas de tecnologia para construir o intervalo.
Use as estatísticas no Exercício 3.
Use as estatísticas no Exercício 3.
Passo 1
O enunciado pede que, para os exercícios de 15 a 20, sejam construídos intervalos de confiança de
e
para a proporção populacional
usando as estatísticas de amostras indicadas no Exercício 3. Também pede indicar qual dos dois intervalos é o maior.
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram incluídas aqui):
- o tamanho da amostra
para cada exercício (ou um único, se for o mesmo para todos); - o número de sucessos
em cada amostra (ou, alternativamente, a proporção amostral ).
Sem esses dados (ou sem a tabela do Exercício 3 come ou ), não é possível calcular numericamente os intervalos solicitados.
Passo 2
O que é um intervalo de confiança para uma proporção?
Um intervalo de confiança de nível para
é um intervalo construido a partir da amostra que, sob repetição do processo amostral, conteria o valor verdadeiro de
em aproximadamente
das amostras. Na prática, constrói‑se um ponto central (tipicamente a proporção amostral
) e uma margem de erro que depende da variabilidade da amostra e do nível de confiança.
Um intervalo de confiança de nível
Passo 3
Fórmula mais usada (intervalo de Wald — aproximação normal):
Explicando cada símbolo:
-
é a proporção amostral, definida por , onde é o número de sucessos observados e é o tamanho da amostra. -
é o tamanho da amostra. -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que . Para os níveis usuais: - para
(ou ) temos ; - para
(ou ) temos .
- para
-
é o erro padrão da proporção.
Passo 4
Passo a passo prático (o procedimento que você deve aplicar na prova assim que tiver
e
):
- Calcule
. Sempre escreva com vírgula decimal, por exemplo . - Calcule o erro padrão:
Explanação: é a variância da Bernoulli em termos de proporção; dividimos por porque estamos usando a média (proporção) de observações; a raiz dá a unidade de proporção. - Calcule a margem de erro (ME) para o nível desejado:
- Monte o intervalo:
- Verifique limites: se
use como limite inferior; se use como limite superior (intervalos de proporção não saem de ).
Passo 5
Por que o intervalo de
é sempre maior (mais amplo) que o de
?
- A largura do intervalo depende linearmente de
. Como é maior que , a margem de erro para é maior. Em termos de razão:
Logo, o intervalo de
terá cerca de
a mais de margem de erro do que o de
(tudo o mais igual: mesmo
e mesmo
). Portanto, sem calcular números, conclui‑se que o maior intervalo é o de
.
Passo 6
Limitações do método de Wald e alternativa recomendada (dica prática para a prova):
- O IC de Wald pode ter desempenho ruim quando
é pequeno ou quando está muito próximo de ou . - Uma alternativa simples e melhor em muitas situações é o intervalo de Agresti–Coull (usado frequentemente em provas e trabalhos). Para nível
com quantil : - Defina
. - Defina
. - O intervalo aproximado é
- Para
, e ; muitas vezes usa‑se a versão prática que adiciona sucessos e fracassos (equivalente a ), mas a fórmula com é a mais consistente.
- Defina
- Se quiser o melhor de todos, o intervalo de Wilson tem ainda propriedades superiores; a fórmula é um pouco mais trabalhosa, mas pode ser lembrada ou pedida em tabelas.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a técnica). Isto é só um exemplo didático; NÃO veio do seu Exercício 3 — substitua pelos
e
reais quando tiver os dados. Suponha
e
.
-
-
- Para
: . Então - Para
: . Então
Observe que o intervalo de
é mais largo:
contém o intervalo de
e tem limites mais afastados de
.
Passo 8
Como fazer com tecnologia (rápido):
- Em R, para usar o método exato/Clopper–Pearson: use binom.test(x,n,conf.level=0.95).
- Em R, para Wald manual:
- compute
, compute , then .
- compute
- Em calculadoras estatísticas ou software (Excel, Python), aplicar as fórmulas dadas é direto. Se usar funções prontas, verifique qual método a função usa (Wald, Wilson, Clopper–Pearson).
Passo 9
Resumo prático para você levar à prova:
- Assim que tiver
e do Exercício 3, calcule , depois , depois as margens e para e , respectivamente, e escreva os intervalos. - Se na prova for permitido e se
for pequeno ou extremo, use Agresti–Coull ou Wilson (apresente justificativa breve). - Entre os dois intervalos pedidoss, o maior (mais amplo) é sempre o de
.
Resposta
Não é possível construir numericamente os intervalos porque as estatísticas do Exercício 3 (o tamanho da amostra
e o número de sucessos
, ou a proporção
) não foram fornecidas.
O maior intervalo entre os pedidos é o intervalo de .
O maior intervalo entre os pedidos é o intervalo de