Nos exercícios de 15 a 20 , construa intervalos de confiança de 95 \% e 99 \% para a proporção populacional " p " usando as estatísticas de amostras indicadas. Qual é o maior intervalo? Se for conveniente, use ferramentas de tecnologia para construir o intervalo.
Use as estatísticas no Exercício 3.

Passo 1

O enunciado pede que, para os exercícios de 15 a 20, sejam construídos intervalos de confiança de 95\% e 99\% para a proporção populacional p usando as estatísticas de amostras indicadas no Exercício 3. Também pede indicar qual dos dois intervalos é o maior.
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram incluídas aqui):
  • o tamanho da amostra n para cada exercício (ou um n único, se for o mesmo para todos);
  • o número de sucessos x em cada amostra (ou, alternativamente, a proporção amostral \hat p = x/n).
    Sem esses dados (ou sem a tabela do Exercício 3 com n e x ou \hat p), não é possível calcular numericamente os intervalos solicitados.

Passo 2

O que é um intervalo de confiança para uma proporção?
Um intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% para p é um intervalo construido a partir da amostra que, sob repetição do processo amostral, conteria o valor verdadeiro de p em aproximadamente 100(1-\alpha)\% das amostras. Na prática, constrói‑se um ponto central (tipicamente a proporção amostral \hat p) e uma margem de erro que depende da variabilidade da amostra e do nível de confiança.

Passo 3

Fórmula mais usada (intervalo de Wald — aproximação normal):
\text{IC}_{100(1-\alpha)\%}: \quad \hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \hat p é a proporção amostral, definida por \hat p = \dfrac{x}{n}, onde x é o número de sucessos observados e n é o tamanho da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que P(|Z|>z_{\alpha/2})=\alpha. Para os níveis usuais:
    • para 95\% (ou \alpha=0,05) temos z_{0,025}=1,96;
    • para 99\% (ou \alpha=0,01) temos z_{0,005}=2,5758.
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão da proporção.

Passo 4

Passo a passo prático (o procedimento que você deve aplicar na prova assim que tiver x e n):
  1. Calcule \hat p=\dfrac{x}{n}. Sempre escreva com vírgula decimal, por exemplo \hat p=0,25.
  2. Calcule o erro padrão: SE=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.Explanação: \hat p(1-\hat p) é a variância da Bernoulli em termos de proporção; dividimos por n porque estamos usando a média (proporção) de n observações; a raiz dá a unidade de proporção.
  3. Calcule a margem de erro (ME) para o nível desejado: ME_{100(1-\alpha)\%}=z_{\alpha/2}\cdot SE.
  4. Monte o intervalo: \bigl(\hat p - ME,\\ \hat p + ME\bigr).
  5. Verifique limites: se \hat p - ME < 0 use 0 como limite inferior; se \hat p + ME > 1 use 1 como limite superior (intervalos de proporção não saem de [0,1]).

Passo 5

Por que o intervalo de 99\% é sempre maior (mais amplo) que o de 95\%?
  • A largura do intervalo depende linearmente de z_{\alpha/2}. Como z_{0,005}=2,5758 é maior que z_{0,025}=1,96, a margem de erro para 99\% é maior. Em termos de razão:
\frac{ME_{99\%}}{ME_{95\%}}=\frac{z_{0,005}}{z_{0,025}}\approx\frac{2,5758}{1,96}\approx 1,315.
Logo, o intervalo de 99\% terá cerca de 31{,}5\% a mais de margem de erro do que o de 95\% (tudo o mais igual: mesmo \hat p e mesmo n). Portanto, sem calcular números, conclui‑se que o maior intervalo é o de 99\%.

Passo 6

Limitações do método de Wald e alternativa recomendada (dica prática para a prova):
  • O IC de Wald pode ter desempenho ruim quando n é pequeno ou quando \hat p está muito próximo de 0 ou 1.
  • Uma alternativa simples e melhor em muitas situações é o intervalo de Agresti–Coull (usado frequentemente em provas e trabalhos). Para nível 100(1-\alpha)\% com quantil z_{\alpha/2}:
    1. Defina \tilde n = n + z_{\alpha/2}^2.
    2. Defina \tilde p = \dfrac{x + \tfrac{1}{2}z_{\alpha/2}^2}{\tilde n}.
    3. O intervalo aproximado é \tilde p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\tilde p(1-\tilde p)}{\tilde n}}.
    • Para 95\%, z_{0,025}=1,96 e z^2\approx 3,8416; muitas vezes usa‑se a versão prática que adiciona 2 sucessos e 2 fracassos (equivalente a z\approx 2), mas a fórmula com 1,96 é a mais consistente.
  • Se quiser o melhor de todos, o intervalo de Wilson tem ainda propriedades superiores; a fórmula é um pouco mais trabalhosa, mas pode ser lembrada ou pedida em tabelas.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a técnica). Isto é só um exemplo didático; NÃO veio do seu Exercício 3 — substitua pelos x e n reais quando tiver os dados. Suponha n=200 e x=50.
  1. \hat p = \dfrac{50}{200}=0,25.
  2. SE=\sqrt{\dfrac{0,25(1-0,25)}{200}}=\sqrt{\dfrac{0,1875}{200}}=\sqrt{0,0009375}\approx 0,03062.
  3. Para 95\%: ME_{95\%}=1,96\times 0,03062\approx 0,0600. Então \text{IC}_{95\%}\approx (0,25-0,0600,\;0,25+0,0600)=(0,190,\;0,310).
  4. Para 99\%: ME_{99\%}=2,5758\times 0,03062\approx 0,0789. Então \text{IC}_{99\%}\approx (0,1711,\;0,3289).
Observe que o intervalo de 99\% é mais largo: (0,1711,\;0,3289) contém o intervalo de 95\% e tem limites mais afastados de \hat p.

Passo 8

Como fazer com tecnologia (rápido):
  • Em R, para usar o método exato/Clopper–Pearson: use binom.test(x,n,conf.level=0.95).
  • Em R, para Wald manual:
    • compute \hat p, compute SE, then \hat p \pm z*SE.
  • Em calculadoras estatísticas ou software (Excel, Python), aplicar as fórmulas dadas é direto. Se usar funções prontas, verifique qual método a função usa (Wald, Wilson, Clopper–Pearson).

Passo 9

Resumo prático para você levar à prova:
  • Assim que tiver x e n do Exercício 3, calcule \hat p=x/n, depois SE=\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}, depois as margens 1,96\cdot SE e 2,5758\cdot SE para 95\% e 99\%, respectivamente, e escreva os intervalos.
  • Se na prova for permitido e se n for pequeno ou \hat p extremo, use Agresti–Coull ou Wilson (apresente justificativa breve).
  • Entre os dois intervalos pedidoss, o maior (mais amplo) é sempre o de 99\%.

Resposta

Não é possível construir numericamente os intervalos porque as estatísticas do Exercício 3 (o tamanho da amostra n e o número de sucessos x, ou a proporção \hat p) não foram fornecidas.
O maior intervalo entre os pedidos é o intervalo de 99\%.

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