Nos exercícios de 15 a 20 parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:
x^2+y^2+z^2-2 x-4 y=4

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície dada por
x^2+y^2+z^2-2x-4y=4
Isso é um exercício de parametrização de superfícies, mais exatamente de uma esfera. Para resolver vamos precisar completar quadrados para identificar centro e raio e depois usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, reorganizamos a equação e completamos quadrados:
x^2-2x+y^2-4y+z^2=4
Agora, fazemos cada quadrado:
(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+z^2=4
Somando 1 e 4 dos termos subtraídos do lado esquerdo para o direito, obtemos:
(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=9

Passo 3

Essa forma mostra que a superfície é uma esfera de centro (1,2,0) e raio 3.

Passo 4

Para parametrizar uma esfera de raio 3 centrada na origem, usamos as coordenadas esféricas:
X=3,sinphi,costheta, Y=3,sinphi,sintheta, Z=3,cosphi
com phiin[0,pi] e thetain[0,2pi).

Passo 5

Como nossa esfera está centrada em (1,2,0) e não na origem, basta traduzir cada componente adicionando as coordenadas do centro. Assim, a parametrização fica:
x(phi,theta)=1+3,sinphi,costheta,
y(phi,theta)=2+3,sinphi,sintheta,
z(phi,theta)=0+3,cosphi,
com phiin[0,pi] e thetain[0,2pi).

Resposta

A parametrização da superfície é
x(phi,theta)=1+3,sinphi,costheta, y(phi,theta)=2+3,sinphi,sintheta, z(phi,theta)=3,cosphi,
com phiin[0,pi] e thetain[0,2pi).

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