Exactness. Under what conditions for the constants a, b, k, l is (a x+b y) d x+(k x+l y) d y=0 exact? Solve the exact ODE.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de a,b,k,l a forma diferencial (a x+b y),dx + (k x + l y),dy = 0 é exata, e em seguida resolver a EDO exata resultante. O conteúdo envolvido é testagem de exatidão de uma forma diferencial e integração para obter a função potencial.

Passo 2

Para que uma forma M(x,y),dx + N(x,y),dy seja exata, devemos ter partial Mpartial y = partial Npartial x. Aqui, M = a x + b y e N = k x + l y. Calculando, partial Mpartial y=b e partial Npartial x=k. Logo, a condição de exatidão é b = k.

Passo 3

Assumindo b = k, buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que psix = M = a x + b y e psiy = N = b x + l y.

Passo 4

Integramos psix = a x + b y em relação a x, tratando y como constante:
psi(x,y)=integral (a x + b y),dx = a2x^2 + b x y + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 5

Derivamos essa expressão em relação a y:
psiy = b x + h'(y),
e igualamos a N = b x + l y. Então h'(y) = l y, integrando:
h(y)=l2y^2,
onde a constante de integração foi absorvida na solução geral.

Passo 6

Assim, a função potencial é
psi(x,y)=a2x^2 + b x y + l2y^2
A solução implícita da EDO exata é psi(x,y)=C, ou seja a2x^2 + b x y + l2y^2 = C.

Resposta

A forma é exata se b = k. A solução geral implícita é
a2x^2 + bxy + l2y^2 = C

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