Exactness. Under what conditions for the constants
,
is
exact? Solve the exact ODE.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a forma diferencial
é exata, e em seguida resolver a EDO exata resultante. O conteúdo envolvido é testagem de exatidão de uma forma diferencial e integração para obter a função potencial.
Passo 2
Para que uma forma
seja exata, devemos ter
. Aqui,
e
. Calculando,
e
. Logo, a condição de exatidão é
.
Passo 3
Assumindo
, buscamos uma função potencial
tal que
e
.
Passo 4
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é função de
a determinar.
Passo 5
Derivamos essa expressão em relação a
:
e igualamos a
. Então
, integrando:
onde a constante de integração foi absorvida na solução geral.
Passo 6
Assim, a função potencial é
A solução implícita da EDO exata é
, ou seja
.
Resposta
A forma é exata se
. A solução geral implícita é