Nos Exercícios de 15 a 22, ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede o limitante superior para o erro
ao aproximarmos
sumn=1^infty(-1)^n+1n(n+1)^2
pela soma dos quatro primeiros termos.
O conteúdo que vamos usar é o Critério de Leibniz para séries alternadas e seu estimador de erro.

Passo 2

Seja
an=n(n+1)^2,
então o termo geral da série está na forma
;(-1)^n+1an.
Precisamos verificar que an>0, que an é decrescente para n>=1 e que limntoinftyan=0.
  1. an>0 é claro para todo n>=1.
  2. Considere a função contínua f(x)=x(x+1)^2, x>=1 Sua derivada é f'(x) =(x+1)^2-2x(x+1)(x+1)^4 =1-x(x+1)^3<0 para x>1, logo f (e portanto an) é decrescente a partir de n=1.
limntoinftyan =limntoinftyn(n+1)^2 =limntoinfty1n+1=0

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, o resto ao somar até n=4, que chamamos R4, satisfaz
l|R4r|<= a5
Isso significa que o erro ao usar os quatro primeiros termos não ultrapassa o valor de a5.

Passo 4

Compute a5:
a5=5(5+1)^2=56^2=536

Resposta

O limitante superior para o erro é
536

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