1. Sejam AC e BD as diagonais de um paralelogramo ABCD . Sendo AC=(-1,5,0) e BC=(-3,3,2), calcule a área do paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD com as diagonais e lados representados por vetores. Em particular temos
AC=(-1,5,0) e BC=(-3,3,2).
O que queremos é a área do paralelogramo, que é dada pelo módulo do produto vetorial entre dois lados adjacentes, por exemplo AB e BC.

Passo 2

Usamos a relação entre os vetores das diagonais e dos lados:
AC=AB+BC.
Isolando AB, obtemos
AB=AC-BC

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos, calculamos
AB=(-1,5,0)-(-3,3,2)=(2,2,-2)

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial ABtimesBC pelo determinante:
ABtimesBC = i & j & k 2 & 2 & -2 -3 & 3 & 2 =(2cdot2-(-2)cdot3),i -(2cdot2-(-2)cdot(-3)),j +(2cdot3-2cdot(-3)),k =10,i+2,j+12,k

Passo 5

A área do paralelogramo é o módulo desse vetor:
|ABtimesBC| =raiz10^2+2^2+12^2 =raiz248 =2raiz62

Resposta

2raiz62

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