Nos Exercícios de 15 a 22, ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(n+1) ln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede um limitante superior para o erro ao aproximar a soma
S = sumn=1^infty(-1)^n+11(n+1)ln(n+1)
pela soma dos quatro primeiros termos
S4 = sumn=1^4(-1)^n+11(n+1)ln(n+1)
O conteúdo aplicado é o Critério de Leibniz para séries alternadas, que diz que se an>0, an decresce e limntoinftyan=0, então o resto R4=S-S4 satisfaz lvert R4rvert<= a5.

Passo 2

Definimos
an = 1(n+1)ln(n+1), n>=1
Observamos que (n+1)ln(n+1) é estritamente crescente para n>=1, logo an+1<an. Além disso limntoinftyan=0. Assim, as hipóteses do Critério de Leibniz estão satisfeitas.

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, o erro ao truncar após n=4 satisfaz
lvert R4rvert <= a5

Passo 4

Calculamos
a5 = 1(5+1)ln(5+1) = 16ln6

Resposta

lvert S - S4rvert <= 16ln6

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