Um grupo de estudantes investigou o percentual de carregamento da bateria de um telefone celular durante um período de tempo. Para isso, o grupo anotou de 10 em 10 minutos o percentual da bateria em carregamento, concluindo que esse fenômeno pode ser representado pelo modelo matemático:
P(t)=306(1-e^-0.00371 t)
a) Calcule a derivada do percentual de carregamento da bateria do telefone celular em função do tempo em 40 minutos conectado à tomada.
b) O valor obtido no item a é positivo ou negativo? O que isso representa?

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo do percentual de carga da bateria em função do tempo:
P(t)=306l(1 - e^-0.00371,tr)
Precisamos achar a derivada P'(t), avaliá-la em t=40 e interpretar o sinal. O conteúdo usado é a regra da cadeia para derivar exponenciais.

Passo 2

Derivando
P(t)=306l(1 - e^-0.00371,tr)
pela regra da cadeia, a derivada de 1 é 0 e a de -e^-0.00371,t é
-1 times l(-0.00371,e^-0.00371,tr)= 0.00371,e^-0.00371,t.
Logo,
P'(t)=306 times 0.00371,e^-0.00371,t

Passo 3

Agora avaliamos em t=40:
primeiro calculemos o coeficiente
306 times 0.00371 = 1.13526,
de modo que
P'(40)=1.13526,e^-0.00371times 40 =1.13526,e^-0.1484
Como e^-0.1484approx 0.8621,
P'(40)approx 1.13526times 0.8621 approx 0.978

Passo 4

O valor P'(40)approx 0.978 é positivo. Isso indica que, aos 40 minutos de carga, o percentual da bateria ainda está aumentando, a uma taxa de aproximadamente 0.978 pontos percentuais por minuto.

Resposta

a) P'(40)approx 0.978% por minuto.
b) É positivo: significa que aos 40 minutos o nível de carga da bateria ainda está subindo, e cresce cerca de 0.978% a cada minuto.

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