Nos Exercícios de 15 a 22, ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
sumn=1^+infty(-1)^n 1n!

Passo 1

O enunciado pede um limitante superior para o erro
ao aproximarmos a série
sumn=1^+infty(-1)^n1n!
pela soma dos quatro primeiros termos
sumn=1^4(-1)^n1n!.
Aqui vamos usar o Teorema da Estimativa de Erro para Séries Alternantes, que diz que se os termos de uma série alternante sum(-1)^n an satisfazem
  1. an decrescente, e
  2. limntoinftyan=0,
    então o resto RN ao somar até N termos satisfaz
|RN|<= aN+1

Passo 2

Identificamos na nossa série
an = 1n!
Para todo n>=1 temos
1n! > 1(n+1)!,
logo an é decrescente. Além disso
limntoinfty1n!=0
Portanto, todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 3

Pelo Teorema da Estimativa de Erro para Séries Alternantes, o erro R4 ao usar quatro termos é limitado por
|R4|<= a5

Passo 4

Calculamos
a5 = 15! = 1120
Logo o erro de aproximar a soma infinita pelos quatro primeiros termos é no máximo tfrac1120.

Resposta

O limitante superior para o erro é 1120

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