Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \Sigma=(O, E) no espaço.
Determine uma equação da superfície gerada por uma reta que contém o ponto P=(3,0,0), que se apoia na circunferência \mathcal{C} de equações dadas por \mathcal{C}:\left\{\begin{array}{l}y^{2}+z^{2}=1 \\\ x=0\end{array} \quad\right.. Dê uma representação geométrica para o gráfico da mesma.

Passo 1

O enunciado pede a superfície formada por todas as retas que passam por P=(3,0,0)\) e interceptam a circunferência \[\mathcal{C}:\begin{cases} y^{2}+z^{2}=1,\\\ x=0. \end{cases}
O conteúdo é geração de superfícies por feixes de retas (uma família de retas que varre uma curva fixa), e esperamos encontrar um cone de revolução com vértice em (P].

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico T em \mathcal{C}. Como T está em x=0 e satisfaz y^{2}+z^{2}=1, escrevemos
T = (0,u,v), \quad u^{2}+v^{2}=1.
A reta que passa por P e T tem representação paramétrica
L(t) = P + t\,(T-P) = (3,0,0) + t\,(-3,u,v).
Logo
x = 3 - 3t,\quad y = ut,\quad z = vt.

Passo 3

Para eliminar os parâmetros t,u,v, isole t em função de x:
t = \frac{3 - x}{3}.
Daí
u = \frac{y}{t} = \frac{3y}{3-x}, \quad v = \frac{z}{t} = \frac{3z}{3-x}.
Como u^{2}+v^{2}=1, obtemos
\Bigl(\frac{3y}{3-x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{3z}{3-x}\Bigr)^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 9\,(y^{2}+z^{2}) = (3-x)^{2}.

Passo 4

A equação implícita da superfície é
9\,(y^{2}+z^{2}) = (3 - x)^{2}.
Geometricamente, trata-se de um cone circular reto de vértice em (3,0,0), cujo eixo é paralelo ao eixo x e cuja seção em x=0 é precisamente a circunferência de raio 1.

Resposta

A equação da superfície é
9\,(y^{2}+z^{2}) = (3 - x)^{2},
que representa um cone circular reto de vértice em (3,0,0) e base na circunferência y^{2}+z^{2}=1, x=0.

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