Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \Sigma=(O, E) no espaço.
Mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao ponto A=(2,-1,3) é dobro da sua distância ao ponto B=(-4,2,1) é uma superfície esférica. Ache seu centro e seu raio.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço
A=(2,-1,3)
e
B=(-4,2,1)
e pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) tais que a distância de P a A é o dobro da distância de P a B.
Vamos usar a fórmula da distância no espaço e transformar a condição
PA = 2\,PB
numa equação que descreve uma esfera.

Passo 2

Seja P=(x,y,z). A condição PA = 2\,PB se escreve
\sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2} \;=\; 2\,\sqrt{(x+4)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2}.
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 \;=\;4\bigl[(x+4)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2\bigr].

Passo 3

Expandindo os dois lados:
Lado esquerdo:
(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = x^2 -4x +4 + y^2 +2y +1 + z^2 -6z +9 = x^2 + y^2 + z^2 -4x +2y -6z +14.
Lado direito:
4\bigl[(x+4)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2\bigr] =4\bigl(x^2+8x+16 + y^2-4y+4 + z^2-2z+1\bigr) =4x^2+4y^2+4z^2 +32x -16y -8z +84.
Agora trazemos tudo para um lado:
0 = 4x^2+4y^2+4z^2 +32x -16y -8z +84 - \bigl(x^2 + y^2 + z^2 -4x +2y -6z +14\bigr).
Isso dá
0 = 3x^2 +3y^2 +3z^2 +36x -18y -2z +70.
Dividindo por 3:
x^2 + y^2 + z^2 +12x -6y -\tfrac{2}{3}z + \tfrac{70}{3} = 0.

Passo 4

Vamos completar os quadrados em x, y e z:
x^2 +12x = (x+6)^2 -36,
y^2 -6y = (y-3)^2 -9,
z^2 - \tfrac{2}{3}z = \bigl(z - \tfrac{1}{3}\bigr)^2 - \tfrac{1}{9}.
Substituindo na equação:
(x+6)^2 -36 + (y-3)^2 -9 + \Bigl(z - \tfrac{1}{3}\Bigr)^2 - \tfrac{1}{9} + \tfrac{70}{3} = 0.
Agora somamos as constantes:
-36 -9 -\tfrac{1}{9} + \tfrac{70}{3} = -\tfrac{405}{9} - \tfrac{1}{9} + \tfrac{210}{9} = -\tfrac{196}{9}.
Logo a equação fica
(x+6)^2 + (y-3)^2 + \Bigl(z - \tfrac{1}{3}\Bigr)^2 = \tfrac{196}{9}.

Resposta

O lugar geométrico é a esfera de centro
C = \bigl(-6,\,3,\,\tfrac{1}{3}\bigr)
e raio
r = \frac{14}{3}.

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