Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas
no espaço.
Mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao ponto
é dobro da sua distância ao ponto
é uma superfície esférica. Ache seu centro e seu raio.
Mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao ponto
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço
e
e pede o lugar geométrico dos pontos
tais que a distância de
a
é o dobro da distância de
a
.
Vamos usar a fórmula da distância no espaço e transformar a condição
Vamos usar a fórmula da distância no espaço e transformar a condição
numa equação que descreve uma esfera.
Passo 2
Seja
. A condição
se escreve
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 3
Expandindo os dois lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Agora trazemos tudo para um lado:
Isso dá
Dividindo por
:
Passo 4
Vamos completar os quadrados em
,
e
:
Substituindo na equação:
Agora somamos as constantes:
Logo a equação fica
Resposta
O lugar geométrico é a esfera de centro
e raio