Identifique as curvas, dê as correspondentes equações em coordenadas cartesianas e faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, dadas em coordenadas polares. Em cada caso, determine o período.
r=a \sin \theta, a \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = a \sin\theta,\quad a\neq0,
e pede:
– a equação na forma cartesiana;
– a identificação do tipo de curva;
– o esboço do gráfico;
– o período de \,r(\theta).

Passo 2

Para converter em cartesianas, multiplicamos por r:
r^2 = a\,r\sin\theta.
Como \,r^2 = x^2 + y^2 e \,\sin\theta = \tfrac{y}{r}, segue
x^2 + y^2 = a\,y.
Completando o quadrado em y, obtemos
x^2 + \bigl(y - \tfrac{a}{2}\bigr)^2 = \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2.
'E, portanto, uma circunfer^encia de centro \bigl(0,\tfrac{a}{2}\bigr) e raio \bigl|\tfrac{a}{2}\bigr|.

Passo 3

Para traçar em polares precisamos de r\ge0. Isso exige que \sin\theta tenha o mesmo sinal de a.
Se a>0, então \sin\theta\ge0\Rightarrow\theta\in[0,\pi].
Se a<0, então \sin\theta\le0\Rightarrow\theta\in[\pi,2\pi].
Nesse intervalo \,r vai de 0 até |a| e volta a 0, percorrendo toda a circunferência do Passo 2.
Esboço:
\begin{array}{l} \text{circunferência centrada em }(0,\tfrac{a}{2})\\\ \text{e raio }|a/2|. \end{array}ê

Passo 4

Buscamos o menor T>0 tal que o ponto (r(\theta+T),\,\theta+T) coincida com (r(\theta),\,\theta).
Note que
r(\theta+\pi)=a\sin(\theta+\pi)=-a\sin\theta=-r(\theta),
e geometricamente (r(\theta+\pi),\theta+\pi) é o mesmo ponto de (r(\theta),\theta).
Logo o período da curva é
T = \pi.

Resposta

A curva é a circunferência
x^2+\bigl(y-\tfrac{a}{2}\bigr)^2=\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2,
de centro \bigl(0,\tfrac{a}{2}\bigr) e raio \bigl|a/2\bigr|.
O período de r(\theta)=a\sin\theta é \pi.

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