Identifique as curvas, dê as correspondentes equações em coordenadas cartesianas e faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, dadas em coordenadas polares. Em cada caso, determine o período. r=a \sin \theta, a \neq 0
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = a \sin\theta,\quad a\neq0,
e pede:
– a equação na forma cartesiana;
– a identificação do tipo de curva;
– o esboço do gráfico;
– o período de \,r(\theta).
Passo 2
Para converter em cartesianas, multiplicamos por r:
r^2 = a\,r\sin\theta.
Como \,r^2 = x^2 + y^2 e \,\sin\theta = \tfrac{y}{r}, segue
'E, portanto, uma circunfer^encia de centro \bigl(0,\tfrac{a}{2}\bigr) e raio \bigl|\tfrac{a}{2}\bigr|.
Passo 3
Para traçar em polares precisamos de r\ge0. Isso exige que \sin\theta tenha o mesmo sinal de a.
Se a>0, então \sin\theta\ge0\Rightarrow\theta\in[0,\pi].
Se a<0, então \sin\theta\le0\Rightarrow\theta\in[\pi,2\pi].
Nesse intervalo \,r vai de 0 até |a| e volta a 0, percorrendo toda a circunferência do Passo 2.
Esboço:
\begin{array}{l} \text{circunferência centrada em }(0,\tfrac{a}{2})\\\ \text{e raio }|a/2|. \end{array}ê
Passo 4
Buscamos o menor T>0 tal que o ponto (r(\theta+T),\,\theta+T) coincida com (r(\theta),\,\theta).
Note que