Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas
no espaço.
Determine uma equação da superfície gerada por uma reta que contém o ponto
, que se apoia na circunferência
de equações dadas por
. Dê uma representação geométrica para o gráfico da mesma.
Determine uma equação da superfície gerada por uma reta que contém o ponto
Passo 1
O enunciado pede a superfície formada por todas as retas que passam por
O conteúdo é geração de superfícies por feixes de retas (uma família de retas que varre uma curva fixa), e esperamos encontrar um cone de revolução com vértice em (P].
Passo 2
Escolhemos um ponto genérico
em
. Como
está em
e satisfaz
, escrevemos
A reta que passa por
e
tem representação paramétrica
Logo
Passo 3
Para eliminar os parâmetros
, isole
em função de
:
Daí
Como
, obtemos
Passo 4
A equação implícita da superfície é
Geometricamente, trata-se de um cone circular reto de vértice em
, cujo eixo é paralelo ao eixo
e cuja seção em
é precisamente a circunferência de raio
.
Resposta
A equação da superfície é
que representa um cone circular reto de vértice em
e base na circunferência
,
.