Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \Sigma=(O, E) no espaço.
Encontre uma equação do lugar geométrico dos pontos P do espaço de modo que \frac{d(P, F)}{d(P, \pi)}=2, onde F=(1,0,0) e \pi: x=-1.

Passo 1

O enunciado fixa o ponto F=(1,0,0) e o plano \pi: x=-1, e pede o lugar geométrico dos pontos P tais que
\frac{d(P,F)}{d(P,\pi)} = 2.
O conteúdo necessário é: fórmula da distância ponto–ponto e ponto–plano, e manipulação algébrica para obter a equação do lugar geométrico.

Passo 2

Seja P=(x,y,z).
A distância de P a F é
d(P,F) = \sqrt{(x-1)^2 + y^2 + z^2},
e a distância de P ao plano \pi é
d(P,\pi) = \frac{\bigl|x - (-1)\bigr|}{\sqrt{1^2}} = |x+1|.

Passo 3

Impondo
\frac{d(P,F)}{d(P,\pi)} =2
temos
\frac{\sqrt{(x-1)^2 + y^2 + z^2}}{|x+1|} = 2.
Elevando ao quadrado:
(x-1)^2 + y^2 + z^2 = 4\,(x+1)^2.

Passo 4

Expandindo e levando todos os termos para um lado:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 = 4x^2 + 8x + 4
0 = 4x^2 + 8x + 4 \;-\; x^2 + 2x -1 \;-\; y^2 - z^2
0 = 3x^2 + 10x + 3 \;-\; y^2 \;-\; z^2.

Passo 5

Opcionalmente, completando o quadrado em x:
3\Bigl(x+\tfrac{5}{3}\Bigr)^2 - y^2 - z^2 = \tfrac{16}{3},
o que revela tratar-se de um hiperbolóide de duas folhas com eixo em x.

Resposta

(x-1)^2 + y^2 + z^2 = 4\,(x+1)^2.

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