Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas
no espaço.
Encontre uma equação do lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes da reta
e da reta
.
Encontre uma equação do lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes da reta
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
que estão à mesma distância de duas retas no espaço:
a) , isto é, reta paralela ao eixo
passando por
;
b) , reta paralela ao eixo
passando por
.
Vamos usar a fórmula de distância de um ponto a uma reta e igualar as duas distâncias.
a)
b)
Vamos usar a fórmula de distância de um ponto a uma reta e igualar as duas distâncias.
Passo 2
Como
é paralela ao eixo
, a distância de
a
é simplesmente a distância de
ao ponto
projetada no plano
. Logo,
De modo análogo, como
é paralela ao eixo
,
Passo 3
O ponto
é equidistante de
e
quando
ou seja,
Expandindo e cancelando
e
, obtemos
Passo 4
Reescrevendo em forma explícita, a equação do lugar geométrico é
que é um paraboloide hiperbólico.