Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \Sigma=(O, E) no espaço.
Encontre uma equação do lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes da reta r: X= \left(0,0,-\frac{1}{4}\right)+\lambda(0,1,0), \lambda \in \mathbb{R} e da reta s: X=\left(0,0, \frac{1}{4}\right)+\mu(1,0,0), \mu \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) que estão à mesma distância de duas retas no espaço:
a) r\colon X=(0,0,-\tfrac14)+\lambda\,(0,1,0), isto é, reta paralela ao eixo y passando por (0,0,-\tfrac14);
b) s\colon X=(0,0,\tfrac14)+\mu\,(1,0,0), reta paralela ao eixo x passando por (0,0,\tfrac14).
Vamos usar a fórmula de distância de um ponto a uma reta e igualar as duas distâncias.

Passo 2

Como r é paralela ao eixo y, a distância de P a r é simplesmente a distância de (x,y,z) ao ponto (0,0,-\tfrac14) projetada no plano xz. Logo,
d(P,r)^2 \;=\; x^2 +\bigl(z + \tfrac14\bigr)^2.
De modo análogo, como s é paralela ao eixo x,
d(P,s)^2 \;=\; y^2 +\bigl(z - \tfrac14\bigr)^2.

Passo 3

O ponto P é equidistante de r e s quando
d(P,r)^2 \;=\; d(P,s)^2,
ou seja,
x^2 +\bigl(z + \tfrac14\bigr)^2 \;=\; y^2 +\bigl(z - \tfrac14\bigr)^2.
Expandindo e cancelando z^2 e \tfrac1{16}, obtemos
x^2 + \tfrac12\,z \;=\; y^2 - \tfrac12\,z \quad\Longrightarrow\quad x^2 - y^2 = -\,z.

Passo 4

Reescrevendo em forma explícita, a equação do lugar geométrico é
z \;=\; y^2 \;-\; x^2,
que é um paraboloide hiperbólico.

Resposta

z = y^2 - x^2.

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