Para os Exercícios de 15 à 28, fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \Sigma=(O, E) no espaço.
A parábola y=z^{2} do plano x=0 é rotacionada em torno do eixo O z. Encontre a equação do lugar geométrico do espaço descrito pela superfície de revolução obtida.

Passo 1

O enunciado dá a parábola que, no plano x=0, satisfaz
y = z^2
e pede a superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo O z. Para isso, lembramos que ao rotacionar um perfil y=f(z) no plano x=0 em torno de O z, o eixo y passa a representar a distância radial r ao eixo z, onde
r = \sqrt{x^2 + y^2}\,.

Passo 2

Na superfície de revolução, a distância radial r ao eixo z deve ser igual ao valor y da parábola original, ou seja
r = z^2.
Substituindo r por \sqrt{x^2+y^2} e elevando ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = z^4.

Resposta

x^2 + y^2 = z^4

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