Seja T=(h, k) um ponto da elipse E: x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1, e sejam F_{1} e F_{2} os focos de E. Mostre que a reta s, normal a E em T, contém a bissetriz do ângulo F_{1} \hat{T} F_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a reta normal s à elipse
E:\;\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
no ponto T=(h,k) contenha a bissetriz do ângulo \angle F_{1}TF_{2}, onde
F_{1}=(-c,0),\quad F_{2}=(c,0),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Vamos usar o fato de que a normal a E em T é dada pelo gradiente da função implícita e, em seguida, mostrar que os cossenos dos ângulos entre essa normal e os vetores \overrightarrow{TF_{1}} e \overrightarrow{TF_{2}} são iguais.

Passo 2

A função implícita de E é
F(x,y)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1,
logo o gradiente em (h,k) é
\nabla F(h,k) =\Bigl(\frac{2h}{a^{2}},\,\frac{2k}{b^{2}}\Bigr).
Podemos tomar como vetor diretor da normal
\mathbf{n}=\bigl(\tfrac{h}{a^{2}},\,\tfrac{k}{b^{2}}\bigr).
Os vetores de T aos focos são
\overrightarrow{TF_{1}}=(h+c,\;k), \quad \overrightarrow{TF_{2}}=(h-c,\;k).

Passo 3

Para ser bissetriz, precisamos mostrar
\cos\angle\bigl(\mathbf{n},\overrightarrow{TF_{1}}\bigr) =\cos\angle\bigl(\mathbf{n},\overrightarrow{TF_{2}}\bigr).
Usando produto escalar,
\cos\angle(\mathbf{n},\overrightarrow{TF_{i}}) =\frac{\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{i}}} {\|\mathbf{n}\|\;\|\overrightarrow{TF_{i}}\|}, \quad i=1,2.
Calculemos \mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{1}} e \mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{2}}:
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{1}} =\frac{h(h+c)}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}}, \quad \mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{2}} =\frac{h(h-c)}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}}.
Como \frac{k^{2}}{b^{2}}=1-\frac{h^{2}}{a^{2}} pela equação da elipse, segue
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{1}} =1+\frac{hc}{a^{2}}, \quad \mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{2}} =1-\frac{hc}{a^{2}}.

Passo 4

As distâncias aos focos são
\|\overrightarrow{TF_{1}}\| =\sqrt{(h+c)^{2}+k^{2}} =a+\frac{hc}{a}, \quad \|\overrightarrow{TF_{2}}\| =a-\frac{hc}{a},
pela identidade que decorre de h^{2}/a^{2}+k^{2}/b^{2}=1.
Logo
\frac{\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{1}}} {\|\overrightarrow{TF_{1}}\|} =\frac{1+\frac{hc}{a^{2}}}{\,a+\frac{hc}{a}\,} =\frac{1}{a} =\frac{1-\frac{hc}{a^{2}}}{\,a-\frac{hc}{a}\,} =\frac{\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{TF_{2}}} {\|\overrightarrow{TF_{2}}\|}.
Como os cossenos são iguais, a normal forma ângulos iguais com \overrightarrow{TF_{1}} e \overrightarrow{TF_{2}}, logo é bissetriz.

Resposta

A reta s normal à elipse em T contém a bissetriz do ângulo F_{1}\widehat{T}F_{2}.

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