Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique.
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} y^{4}}{\left(x^{2}+y^{4}\right)^{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a existência do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}y^{4}}{(x^{2}+y^{4})^{3}}.
Informações dadas: a função real de duas variáveis é
f(x,y)=\frac{x^{4}y^{4}}{(x^{2}+y^{4})^{3}},
e o ponto de interesse é (0,0). Preciso decidir se existe um número real L tal que f(x,y) tende a L quando (x,y) se aproxima de (0,0). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de limite em \mathbb{R}^2 (a versão que vamos usar para justificar existência ou não):
Definição: Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, temos |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Estratégia para provar que o limite NÃO existe (maneira usual e aceita): encontrar duas sequências (x_n,y_n) e (u_n,v_n) que convergem para (0,0) mas tais que f(x_n,y_n) converge a um valor diferente de f(u_n,v_n). Se isso acontecer, pela unicidade do limite, a função não pode ter limite em (0,0).

Passo 3

Primeira escolha de caminho/sequência: examinar a reta x=0.
Se x=0 então
f(0,y)=\frac{0^{4}y^{4}}{(0^{2}+y^{4})^{3}}=0.
Escolho a sequência (x_n,y_n)=(0,1/n). Claramente (x_n,y_n)\to(0,0) quando n\to\infty. Para todo n\ge1,
f(x_n,y_n)=f(0,1/n)=0.
Logo f(x_n,y_n)\to 0. Assim, ao longo do caminho x=0 o valor limite aparente é 0.

Passo 4

Segunda escolha de caminho/sequência: examinar a parábola x=y^{2}.
Substituo x=y^{2} na expressão de f. Então x^{2}=y^{4} e
x^{2}+y^{4}=y^{4}+y^{4}=2y^{4}.
O numerador fica
x^{4}y^{4}=(y^{2})^{4}y^{4}=y^{8}y^{4}=y^{12}.
Portanto, para y\neq0,
f(y^{2},y)=\frac{y^{12}}{(2y^{4})^{3}}=\frac{y^{12}}{8y^{12}}=\frac{1}{8}.
Escolho a sequência (u_n,v_n)=(1/n^{2},1/n) (que satisfaz u_n=v_n^{2}). Claramente (u_n,v_n)\to(0,0). Para todo n\ge1,
f(u_n,v_n)=f(1/n^{2},1/n)=\frac{1}{8}.
Logo f(u_n,v_n)\to 1/8.

Passo 5

Agora comparo os dois resultados:
  • Pela sequência (x_n,y_n)=(0,1/n) temos f(x_n,y_n)\to 0.
  • Pela sequência (u_n,v_n)=(1/n^{2},1/n) temos f(u_n,v_n)\to 1/8.
As duas sequências convergem para o mesmo ponto (0,0) no domínio, mas os valores de f ao longo delas convergem a números distintos ( 0 e 1/8). Isso impede a existência de um único L que seja o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0), porque, se existisse tal L, todas as sequências que convergissem para (0,0) teriam que produzir valores de f que convergissem para L. Como não é o caso, concluímos que o limite não existe.
Se for preciso ver isso pelo jogo \varepsilon- \delta: escolha \varepsilon=\tfrac{1}{16}. Se existisse L tal que |f(x,y)-L|<\varepsilon sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então aplicando isso às duas sequências suficientemente próximas de (0,0) obteríamos |0-L|<\varepsilon e |\tfrac{1}{8}-L|<\varepsilon, o que é impossível pois |\tfrac{1}{8}-0|=\tfrac{1}{8}>\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{16}=\varepsilon. Portanto há contradição formal com a definição \varepsilon- \delta.

Resposta

O limite não existe.

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