Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a existência do limite
Informações dadas: a função real de duas variáveis é
e o ponto de interesse é
. Preciso decidir se existe um número real
tal que
tende a
quando
se aproxima de
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de limite em
(a versão que vamos usar para justificar existência ou não):
Definição: Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Estratégia para provar que o limite NÃO existe (maneira usual e aceita): encontrar duas sequências
e
que convergem para
mas tais que
converge a um valor diferente de
. Se isso acontecer, pela unicidade do limite, a função não pode ter limite em
.
Passo 3
Primeira escolha de caminho/sequência: examinar a reta
.
Se
então
Escolho a sequência
. Claramente
quando
. Para todo
,
Logo
. Assim, ao longo do caminho
o valor limite aparente é
.
Passo 4
Segunda escolha de caminho/sequência: examinar a parábola
.
Substituo
na expressão de
. Então
e
O numerador fica
Portanto, para
,
Escolho a sequência
(que satisfaz
). Claramente
. Para todo
,
Logo
.
Passo 5
Agora comparo os dois resultados:
- Pela sequência
temos . - Pela sequência
temos .
As duas sequências convergem para o mesmo ponto
no domínio, mas os valores de
ao longo delas convergem a números distintos (
e
). Isso impede a existência de um único
que seja o limite de
quando
, porque, se existisse tal
, todas as sequências que convergissem para
teriam que produzir valores de
que convergissem para
. Como não é o caso, concluímos que o limite não existe.
Se for preciso ver isso pelo jogo
-
: escolha
. Se existisse
tal que
sempre que
, então aplicando isso às duas sequências suficientemente próximas de
obteríamos
e
, o que é impossível pois
. Portanto há contradição formal com a definição
-
.
Resposta
O limite não existe.