Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique.
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a existência do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Informações dadas:
f(x,y)=\frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
está definida para todo (x,y)\neq(0,0). A pergunta é: esse limite existe quando (x,y) se aproxima de (0,0)? Se existir, qual é o valor; se não, justificar.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de limite em \mathbb{R}^2 (essa é a parte “formal” que o exercício pede que usemos). Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, e somente se,
(\forall \varepsilon>0)\;(\exists \delta>0)\;(\forall (x,y))\;\big(0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\varepsilon\big).
Explicando em miúdos: para qualquer tolerância \varepsilon que eu escolha, deve haver um raio \delta tal que todos os pontos (x,y) (exceto o próprio (0,0)) com distância da origem menor que \delta têm f(x,y) dentro de \varepsilon de L. Se existir ao menos duas sequências (ou caminhos) que se aproximam de (0,0) e dão limites diferentes, então não existe L que satisfaça essa definição.

Passo 3

Vamos testar o caminho pelo eixo x (ou seja, tomar y=0). Substituindo y=0 em f obtemos, para x\neq0,
f(x,0)=\frac{0^{4}+3x^{2}\cdot0^{2}+2\cdot0\cdot x^{3}}{(x^{2}+0^{2})^{2}}=\frac{0}{x^{4}}=0.
Portanto, ao aproximar (x,y)\to(0,0) ao longo do eixo x (isto é, por pontos (x,0)), o valor de f é identicamente 0, então o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 4

Agora teste o caminho pelo eixo y (ou seja, tomar x=0). Substituindo x=0 em f obtemos, para y\neq0,
f(0,y)=\frac{y^{4}+3\cdot0^{2}\cdot y^{2}+2y\cdot0^{3}}{(0^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{4}}{y^{4}}=1.
Portanto, ao aproximar (x,y)\to(0,0) pelo eixo y (por pontos (0,y)), o valor de f é 1, então o limite ao longo desse caminho é 1.

Passo 5

Já temos dois caminhos que chegam ao mesmo ponto (0,0) e dão limites diferentes: pelo eixo x o limite é 0 e pelo eixo y o limite é 1. Pela definição formal, se o limite existsse teria de ser o mesmo para todo caminho. Então isso indica que o limite não existe. Vou transformar essa ideia numa contradição formal do tipo \varepsilon- \delta:
Suponha, por contradição, que exista L tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Pela hipótese, existe \delta>0 tal que, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, vale |f(x,y)-L|<\tfrac{1}{2}.
Considere os pontos (x_{1},y_{1})=(\tfrac{\delta}{2},0) e (x_{2},y_{2})=(0,\tfrac{\delta}{2}). Ambos satisfazem 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta (porque \sqrt{(\delta/2)^{2}+0}=\delta/2<\delta e análogo para o outro). Logo, pela escolha de \delta,
|f(x_{1},y_{1})-L|<\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad |f(x_{2},y_{2})-L|<\tfrac{1}{2}.
Mas nós já calculamos f(x_{1},y_{1})=f(\tfrac{\delta}{2},0)=0 e f(x_{2},y_{2})=f(0,\tfrac{\delta}{2})=1. Assim teríamos simultaneamente
|0-L|<\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad |1-L|<\tfrac{1}{2}.
Somando essas duas desigualdades e usando triângulo inverso dá
1 = |1-0| \le |1-L| + |L-0| < \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1,
o que é uma contradição (fica 1<1, impossível). Portanto a suposição de existência de L é falsa.

Passo 6

Observação alternativa (útil para enxergar o motivo mais rapidamente): usando coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta temos
y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}=r^{4}\big(\sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos^{3}\theta\big)
e
(x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4}.
Portanto, para r\neq0,
f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos^{3}\theta,
que depende só de \theta. Como esse valor varia com \theta (por exemplo \theta=0 0 e \theta=\tfrac{\pi}{2} 1), não existe um único valor L que seja o limite para todas as direções. Isso confirma a não existência do limite.

Resposta

O limite não existe.

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