Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a existência do limite
Informações dadas:
está definida para todo
. A pergunta é: esse limite existe quando
se aproxima de
? Se existir, qual é o valor; se não, justificar.
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de limite em
(essa é a parte “formal” que o exercício pede que usemos). Dizemos que
se, e somente se,
Explicando em miúdos: para qualquer tolerância
que eu escolha, deve haver um raio
tal que todos os pontos
(exceto o próprio
) com distância da origem menor que
têm
dentro de
de
. Se existir ao menos duas sequências (ou caminhos) que se aproximam de
e dão limites diferentes, então não existe
que satisfaça essa definição.
Passo 3
Vamos testar o caminho pelo eixo
(ou seja, tomar
). Substituindo
em
obtemos, para
,
Portanto, ao aproximar
ao longo do eixo
(isto é, por pontos
), o valor de
é identicamente
, então o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 4
Agora teste o caminho pelo eixo
(ou seja, tomar
). Substituindo
em
obtemos, para
,
Portanto, ao aproximar
pelo eixo
(por pontos
), o valor de
é
, então o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 5
Já temos dois caminhos que chegam ao mesmo ponto
e dão limites diferentes: pelo eixo
o limite é
e pelo eixo
o limite é
. Pela definição formal, se o limite existsse teria de ser o mesmo para todo caminho. Então isso indica que o limite não existe. Vou transformar essa ideia numa contradição formal do tipo
-
:
Suponha, por contradição, que exista
tal que
Escolha
. Pela hipótese, existe
tal que, para todo
com
, vale
.
Considere os pontos
e
. Ambos satisfazem
(porque
e análogo para o outro). Logo, pela escolha de
,
Mas nós já calculamos
e
. Assim teríamos simultaneamente
Somando essas duas desigualdades e usando triângulo inverso dá
o que é uma contradição (fica
, impossível). Portanto a suposição de existência de
é falsa.
Passo 6
Observação alternativa (útil para enxergar o motivo mais rapidamente): usando coordenadas polares
,
temos
e
Portanto, para
,
que depende só de
. Como esse valor varia com
(por exemplo
dá
e
dá
), não existe um único valor
que seja o limite para todas as direções. Isso confirma a não existência do limite.
Resposta
O limite não existe.