Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique. lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{9} y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}\'
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a existência do limite quando (x,y)\to(0,0) da função
\frac{x^{9}y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=\dfrac{x^{9}y}{(x^{6}+y^{2})^{2}}.
Queremos saber se existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
Não vamos assumir nada; vamos testar caminhos e aplicar a definição formal de limite para decidir se o limite existe ou não.
Passo 2
Ideia didática para escolher caminhos: quando a função envolve somas do tipo x^{6}+y^{2} ao quadrado no denominador, geralmente é útil equilibrar as potências de x e y para que ambas as parcelas tenham mesma ordem em x. Se escolhermos um caminho do tipo y = c\,x^{3} (com c constante), então
y^{2} = c^{2}x^{6},
e assim x^{6} e y^{2} ficam da mesma ordem em x. Isso costuma transformar o fator x fora e dentro do denominador em potências que se cancelam, tornando a análise mais simples.
Passo 3
Substituímos y=c\,x^{3} na função e simplificamos passo a passo.
Primeiro escrevemos a função ao longo desse caminho:
Portanto, ao longo do caminho y=cx^{3} a função é constante e igual a \dfrac{c}{(1+c^{2})^{2}} para todo x\neq0 (próximo de zero).
Passo 4
Observação importante: o valor ao longo do caminho depende de c. Para escolher exemplos simples, tomamos c=0 e c=1.
Se c=0 (ou seja, o caminho y=0), então
f(x,0)=\frac{0}{(x^{6}+0)^{2}}=0.
Logo, ao longo de y=0 a função vale sempre 0.
Se c=1 (ou seja, o caminho y=x^{3}), então, pela fórmula anterior,
f(x,x^{3})=\frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{4}.
Logo, ao longo de y=x^{3} a função vale sempre \dfrac{1}{4}.
Como os dois caminhos tendem ao mesmo ponto (0,0) mas produzem limites diferentes (0 e \tfrac{1}{4}), isso já indica que o limite não pode existir. Vamos formalizar isso usando a definição de limite.
Passo 5
Argumento formal por contradição usando a definição de limite.
Tomemos \varepsilon=\dfrac{1}{8}. Pela definição do limite, deveria existir \delta>0 tal que, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, teríamos
Pontos sobre a curva y=x^{3}: escolha x com 0<|x|<\min\{\delta,1\} (isso garante que |(x,x^{3})|<\delta para x pequeno). Para esses pontos temos f(x,x^{3})=\dfrac{1}{4}, logo
Mas o lado esquerdo é \left|0-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}, então obtemos \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{4}, uma contradição. Portanto a suposição de que existe L é falsa.
Passo 6
Conclusão didática e dica de prova: mostramos que ao aproximar (0,0) por diferentes caminhos y=cx^{3} obtemos valores limites distintos \dfrac{c}{(1+c^{2})^{2}}. Basta um par de caminhos (por exemplo c=0 e c=1) para produzir uma contradição formal com a definição de limite. Em provas, procurar equilibrar potências no numerador e denominador (aqui y\sim x^{3}) é uma técnica muito útil para encontrar caminhos que revelem dependência de parâmetros e derrubem existência de limite.