Nos exercícios 9 a 15, avalie a existência dos limites aplicando a definição formal. Caso o limite não exista, justifique.
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{9} y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a existência do limite quando (x,y)\to(0,0) da função
\frac{x^{9}y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{9}y}{(x^{6}+y^{2})^{2}}.
  • Queremos saber se existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
    Não vamos assumir nada; vamos testar caminhos e aplicar a definição formal de limite para decidir se o limite existe ou não.

Passo 2

Ideia didática para escolher caminhos: quando a função envolve somas do tipo x^{6}+y^{2} ao quadrado no denominador, geralmente é útil equilibrar as potências de x e y para que ambas as parcelas tenham mesma ordem em x. Se escolhermos um caminho do tipo y = c\,x^{3} (com c constante), então
y^{2} = c^{2}x^{6},
e assim x^{6} e y^{2} ficam da mesma ordem em x. Isso costuma transformar o fator x fora e dentro do denominador em potências que se cancelam, tornando a análise mais simples.

Passo 3

Substituímos y=c\,x^{3} na função e simplificamos passo a passo.
Primeiro escrevemos a função ao longo desse caminho:
f(x,cx^{3})=\frac{x^{9}\,(c x^{3})}{\bigl(x^{6}+(c x^{3})^{2}\bigr)^{2}}.
Agora simplificamos as potências:
x^{9}\,(c x^{3}) = c\,x^{12},
(c x^{3})^{2} = c^{2}x^{6},
x^{6}+(c x^{3})^{2} = x^{6}+c^{2}x^{6}=(1+c^{2})x^{6},
\bigl(x^{6}+(c x^{3})^{2}\bigr)^{2} = \bigl((1+c^{2})x^{6}\bigr)^{2}=(1+c^{2})^{2}x^{12}.
Substituindo:
f(x,cx^{3})=\frac{c\,x^{12}}{(1+c^{2})^{2}x^{12}}=\frac{c}{(1+c^{2})^{2}}.
Portanto, ao longo do caminho y=cx^{3} a função é constante e igual a \dfrac{c}{(1+c^{2})^{2}} para todo x\neq0 (próximo de zero).

Passo 4

Observação importante: o valor ao longo do caminho depende de c. Para escolher exemplos simples, tomamos c=0 e c=1.
  • Se c=0 (ou seja, o caminho y=0), então
f(x,0)=\frac{0}{(x^{6}+0)^{2}}=0.
Logo, ao longo de y=0 a função vale sempre 0.
  • Se c=1 (ou seja, o caminho y=x^{3}), então, pela fórmula anterior,
f(x,x^{3})=\frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{4}.
Logo, ao longo de y=x^{3} a função vale sempre \dfrac{1}{4}.
Como os dois caminhos tendem ao mesmo ponto (0,0) mas produzem limites diferentes ( 0 e \tfrac{1}{4}), isso já indica que o limite não pode existir. Vamos formalizar isso usando a definição de limite.

Passo 5

Argumento formal por contradição usando a definição de limite.
Suponha, por absurdo, que exista
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{9}y}{(x^{6}+y^{2})^{2}}.
Tomemos \varepsilon=\dfrac{1}{8}. Pela definição do limite, deveria existir \delta>0 tal que, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, teríamos
\left|\frac{x^{9}y}{(x^{6}+y^{2})^{2}}-L\right|<\frac{1}{8}.
Agora escolhemos dois pontos dentro do disco de raio \delta em torno da origem:
  1. Pontos sobre o eixo y=0: escolha x com 0<|x|<\delta e y=0. Para esses pontos temos f(x,0)=0, logo
|0-L|<\frac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad |L|<\frac{1}{8}.
  1. Pontos sobre a curva y=x^{3}: escolha x com 0<|x|<\min\{\delta,1\} (isso garante que |(x,x^{3})|<\delta para x pequeno). Para esses pontos temos f(x,x^{3})=\dfrac{1}{4}, logo
\left|\frac{1}{4}-L\right|<\frac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad \left|L-\frac{1}{4}\right|<\frac{1}{8}.
Pela desigualdade triangular,
\left|0-\frac{1}{4}\right| \le |0-L| + \left|L-\frac{1}{4}\right| < \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.
Mas o lado esquerdo é \left|0-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}, então obtemos \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{4}, uma contradição. Portanto a suposição de que existe L é falsa.

Passo 6

Conclusão didática e dica de prova: mostramos que ao aproximar (0,0) por diferentes caminhos y=cx^{3} obtemos valores limites distintos \dfrac{c}{(1+c^{2})^{2}}. Basta um par de caminhos (por exemplo c=0 e c=1) para produzir uma contradição formal com a definição de limite. Em provas, procurar equilibrar potências no numerador e denominador (aqui y\sim x^{3}) é uma técnica muito útil para encontrar caminhos que revelem dependência de parâmetros e derrubem existência de limite.

Resposta

O limite não existe.

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