Considere a função f: R^2 R dada por:
f(x, y)=x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0.
Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y). Conclua se f é ou não contínua em (0,0).

Passo 1

Estamos estudando limite e continuidade de funções de duas variáveis. A função é definida por
f(x,y)= xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e decidir se f é contínua em (0,0).

Passo 2

Para ver se o limite existe independentemente do caminho, consideramos a reta y=mx (com m constante). Substituindo na expressão de f para (x,y)neq(0,0), temos
f(x,mx)=xcdot(mx)x^2+(mx)^2=m x^2x^2+m^2x^2=m1+m^2
quando xneq0.

Passo 3

O valor obtido m/(1+m^2) depende de m. Por exemplo, para m=1 1/2 e para m=0 (eixo x) dá 0. Como o limite varia conforme o caminho, lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

Passo 4

Como f(0,0)=0 e não existe lim(x,y)to(0,0)f(x,y), a função f não é contínua em (0,0).

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Logo, f não é contínua em (0,0).

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