Nos exercícios 155 a 167, resolva cada equação.
2^x+2^-x2=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação 2^x + 2^-x2 = 3. Aqui, estamos trabalhando com exponenciais, que é uma parte da álgebra onde lidamos com potências e seus exponentes. Para resolver essa equação, vamos precisar manipular as potências de 2 e simplificar a expressão para encontrar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2^x + 2^-x = 6

Passo 3

Sabemos que 2^-x é o mesmo que 12^x. Então, podemos reescrever a equação assim:
2^x + 12^x = 6

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar y = 2^x. Então, 12^x = 1y. Substituindo na equação:
y + 1y = 6

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados por y para eliminar a fração:
y^2 + 1 = 6y

Passo 6

Reorganizamos a equação para formar uma equação quadrática:
y^2 - 6y + 1 = 0

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 42 = 6 pm raiz322 = 6 pm 4raiz22 = 3 pm 2raiz2

Passo 8

Lembrando que y = 2^x, temos duas soluções para y:
2^x = 3 + 2raiz2 ou 2^x = 3 - 2raiz2

Passo 9

Para encontrar x, aplicamos o logaritmo na base 2 em ambos os lados:
x = log2(3 + 2raiz2) ou x = log2(3 - 2raiz2)

Resposta

As soluções para a equação são:
x = log2(3 + 2raiz2) e x = log2(3 - 2raiz2)

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