Nos exercícios 155 a 167, resolva cada equação.
e^x+e^-x2=4

Passo 1

A equação dada é e^x+e^-x2=4. O conteúdo aqui é manipular equações exponenciais e resolver uma quadrática via substituição. Vamos precisar usar a definição de e^-x, fazer uma substituição y=e^x e aplicar a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar a equação. Assim obtemos
e^x+e^-x=8

Passo 3

Fazendo a substituição y=e^x, temos e^-x=1/y. A equação fica
y+1y=8
Multiplicando toda a equação por y, resulta em uma quadrática:
y^2+1=8y

Passo 4

Reorganizando em forma padrão, temos
y^2-8y+1=0
Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
y=8pmraiz(-8)^2-4cdot1cdot12=8pmraiz602=4pmraiz15
Como y=e^x>0, ambas as raízes 4+raiz15 e 4-raiz15 são positivas.

Passo 5

Voltando à variável x, usamos x=ln(y). Logo as soluções são
x=lnl(4+raiz15r)
e
x=lnl(4-raiz15r)

Passo 6

Observação: como (4-raiz15)(4+raiz15)=1, temos ln(4-raiz15)=-ln(4+raiz15). Portanto, equivalentemente,
x=pmlnl(4+raiz15r)

Resposta

As soluções da equação são x=lnl(4+raiz15r) e x=lnl(4-raiz15r).

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