Nos exercícios 16 a 18, verifique a fórmula 1 do Teorema da Divergência, calculando a integral de superficie e a integral tripla.
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, S é a superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula
\iiint_{E} (\nabla\cdot \vec F)\,dV \;=\;\iint_{S}\vec F\cdot \vec n\,dS
onde \vec F = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k, S é a esfera de raio 1 centrada na origem e E é a bola x^2+y^2+z^2\le1. Vamos calcular separadamente o lado da integral tripla (usando a divergência) e o lado da integral de superfície.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de \vec F:
\nabla\cdot \vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x) +\frac{\partial}{\partial y}(y) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =1+1+1=3.
Logo
\iiint_{E}(\nabla\cdot \vec F)\,dV =\iiint_{E}3\,dV =3\cdot \Vol(E).
Como E é a bola de raio 1, \Vol(E)=\tfrac{4}{3}\pi. Assim
\iiint_{E}(\nabla\cdot \vec F)\,dV =3\cdot \frac{4}{3}\pi =4\pi.

Passo 3

Agora a integral de superfície. Na esfera unitária o vetor normal externo unitário é
\vec n=(x,y,z),
pois \|(x,y,z)\|=1. Assim
\vec F\cdot \vec n =(x,y,z)\cdot(x,y,z) =x^2+y^2+z^2=1 \quad\text{em }S.
Logo
\iint_{S}\vec F\cdot \vec n\,dS =\iint_{S}1\,dS =\text{área da esfera unitária} =4\pi.áá

Resposta

As duas integrais valem 4\pi, confirmando o Teorema da Divergência.

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