Nos exercícios 16 a 18, verifique a fórmula 1 do Teorema da Divergência, calculando a integral de superficie e a integral tripla.
\vec{F}=2 x \vec{i}-y \vec{j}+z^{2} \vec{k}, S é a superfície do sólido delimitada pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=2x\,\mathbf{i}-y\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k}
e a região V limitada abaixo pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e acima pelo plano z=1. Queremos verificar o Teorema da Divergência, ou seja, mostrar que
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV.
Para isso vamos calcular separadamente a integral de superfície fechada S (composta pelo disco no plano z=1 e pela superfície do parabolóide) e a integral tripla do divergente de \mathbf{F}.

Passo 2

Começamos pelo divergente de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(2x) +\frac{\partial}{\partial y}(-y) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2-1+2z=1+2z.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos
\iiint_{V}(1+2z)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r^{2}}^{1}(1+2z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos em z:
\int_{r^{2}}^{1}(1+2z)\,dz =\bigl[z+z^{2}\bigr]_{r^{2}}^{1} =(1+1)-(r^{2}+r^{4}) =2-r^{2}-r^{4}.
Multiplicando por r e integrando em r:
\int_{0}^{1}(2r-r^{3}-r^{5})\,dr =\Bigl[r^{2}-\tfrac{r^{4}}{4}-\tfrac{r^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac14-\tfrac16 =\tfrac{7}{12}.
Por fim, multiplicando por \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, obtemos
\iiint_{V}(1+2z)\,dV =2\pi\cdot\tfrac{7}{12} =\tfrac{7\pi}{6}.

Passo 3

Agora a integral de superfície. Dividimos S em duas partes:
(a) O disco S_{2}\colon z=1, x^{2}+y^{2}\le1.
Nesse caso, o vetor normal unitário externo ao volume é \mathbf{n}=\mathbf{k} e
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =\bigl(2x,-y,z^{2}\bigr)\cdot(0,0,1) =z^{2}\Big|_{z=1}=1.
Então
\iint_{S_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}1\,dA =\pi\cdot1^{2} =\pi.

Passo 4

(b) O parabolóide S_{1}\colon z=x^{2}+y^{2}. Para a orientação externa, o vetor de área é
d\mathbf{S} =(g_{x},g_{y},-1)\,dA \quad\text{com}\quad g(x,y)=x^{2}+y^{2},
logo g_{x}=2x, g_{y}=2y e
d\mathbf{S}=(2x,2y,-1)\,dA.
Em S_{1}, temos z=x^{2}+y^{2}, então
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =(2x,-y,(x^{2}+y^{2})^{2})\cdot(2x,2y,-1)\,dA = \bigl(4x^{2}-2y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)\,dA.
Em coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. O integrando fica
4r^{2}\cos^{2}\theta-2r^{2}\sin^{2}\theta-r^{4} \quad\longrightarrow\quad \bigl(4\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta\bigr)r^{2}-r^{4},
e a integral
\iint_{S_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\Bigl[(4\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta)r^{2}-r^{4}\Bigr]r\,dr\,d\theta.
Separamos em dois termos:
\int_{0}^{2\pi}(4\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta)\,d\theta =4\pi-2\pi=2\pi, \quad \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\tfrac14
e
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \quad \int_{0}^{1}r^{5}\,dr=\tfrac16.
Assim
\iint_{S_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =2\pi\cdot\tfrac14-\;2\pi\cdot\tfrac16 =\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{3} =\tfrac{\pi}{6}.

Passo 5

Somando as contribuições de S_{2} e S_{1}:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\pi+\tfrac{\pi}{6} =\tfrac{7\pi}{6},
que coincide com
\iiint_{V}(1+2z)\,dV =\tfrac{7\pi}{6}.
Portanto, o Teorema da Divergência está verificado.

Resposta

\displaystyle \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\tfrac{7\pi}{6}.

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