Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superficie \delta suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y x \vec{j}+z x \vec{k}, \delta é a porção do plano 6 x+3 y+2 z=6 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+yx\,\vec{j}+zx\,\vec{k}
através da porção \delta do plano
6x+3y+2z=6
no primeiro octante, orientada para cima.
O conteúdo aqui é cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície parametrizada como gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Vamos escrever o plano como gráfico de
z=f(x,y)=\frac{6-6x-3y}{2}=3-3x-\tfrac{3}{2}y.
No primeiro octante temos x\ge0, y\ge0, z\ge0, logo a região projetada no plano xy é
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;6x+3y\le6\} \;\Longrightarrow\; 2x+y\le2,
um triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,2).

Passo 3

Para gráfico z=f(x,y) com orientação para cima, o vetor normal com área elementar é
\mathbf{n}\,dS =(-f_x,\,-f_y,\,1)\,dA.
Calculamos
f_x=-3, \quad f_y=-\tfrac{3}{2},
logo
\mathbf{n}\,dS=(3,\;\tfrac{3}{2},\;1)\,dA.

Passo 4

Avaliamo-s \vec{F} sobre a superfície:
\vec{F}(x,y,f(x,y)) =\bigl(x^2,\;xy,\;x(3-3x-\tfrac{3}{2}y)\bigr) =(x^2,\;xy,\;3x-3x^2-\tfrac{3}{2}xy).
O produto escalar com \mathbf{n}\,dS fica
\vec{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS) = x^2\cdot3 +xy\cdot\tfrac{3}{2} +\bigl(3x-3x^2-\tfrac{3}{2}xy\bigr)\cdot1 =3x^2+\tfrac{3}{2}xy+3x-3x^2-\tfrac{3}{2}xy=3x.

Passo 5

O fluxo é
\iint_{\delta}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}3x\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}3x\,dy\,dx.
Integramos em y:
\int_{0}^{2-2x}3x\,dy=3x\,(2-2x)=6x-6x^2.
Agora em x:
\int_{0}^{1}(6x-6x^2)\,dx =\bigl[3x^2-2x^3\bigr]_{0}^{1} =3-2=1.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de \delta é 1.

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